素数分布——素数硬币的抛掷运动

李海南

【摘要】本文在素数定理的基础上，推导出一个更简洁、更易于描述素数分布特征，同时精确度更高的求不大于x的素数个数π（x）的表达式Lihn（x）.主要证明了三个结果：（1）π（x）～Lihn（x）.（2）π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）.（3）Li（x）>Lihn（x）+（x/logx）.结果（3）表明英国数学家John睱ittlewood在1914年证明的“Li（x）-π（x）是一个在正与负之间震荡无穷多次的函数”的结论是错误的.文章最后从概率角度诠释了素数分布就是素数硬币的抛掷运动的实质.

【关键词】素数分布；概率；连续转折线；素数轴；素数硬币

【中图分类号】O1561

前 言

大家都知道，素数一直是数学家特别是数论学家的研究对象，素数分布则是其中的一个重要的研究分支，应该说到目前为止是只有其中三个人的结论影响最为深远长久，他们分别是：

一、德国数学家Gauss的猜测

（1）素数定理：π（x）～x/logx或者更精确的

π（x）～Li（x），其中Li（x）=А襵2dulogu.

（2）第二个猜测：Li（x）总是过多地估计素数的个数.

二、德国数学家Riemann，他提出了求解素数个数的更精确表达式

π（x）～R（x）=Li（x）-А苝Li（xp）-ln2+∫∞xdtt（t2-1）lnt.

并由此引出黎曼假定（The Riemann Hypothesis）这一千禧年问题.

三、英国数学家John Littlewood在1914 年证明的“Li（x）-π（x）是一个在正与负之间震荡无穷多次的函数”的结论

德国数学家Gauss在考察不大于x的素数个数时先是得到π（x）～x/logx，同时认为大自然推出素数很可能是一种素数硬币的抛掷过程，只不过此时这枚硬币正面朝上的概率不再是二分之一，而是1/logx，因此当x越来越大时，x为素数的概率就越小，因为正面朝上的概率随着1/logx越来越小了.Gauss并进而推测到更精确的表达式：π（x）～Li（x）.

Lihn（x）的推导过程：

我们从图1中可以显然看到三个可以证明的结论：（1）π（x）～Lihn（x）

（2）π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）

（3）Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx）

其中：Lihn（x）=А苙1n-1logn+x-n22n+1×nlog（n+1），1

（1）图1清楚表明（1）：π（x）～Lihn（x）的成立是显而易见的.

（2）同时诚如Gauss猜测的那样，大自然推出素数确实是一种素数硬币的抛掷过程，只不过这次素数硬币的抛掷不是人们常识上所以为的那样一枚一枚地抛掷，而是每一次抛掷都要比前一次增加两枚硬币，并且每一次的抛掷都排除掉明确非素数的硬币（12，22，32，42，…，n2，…）.所以在相应的第（n+1）次抛掷中除了明确的非素数（n+1）2，其他的整数（不分大小）可能是素数的概率均是1/log（n+1）2（所以相应的素数个数=（n+1）2-n2-1/log（n+1）2=n/log（n+1））.这是和Gauss关于素数分布的论述“小于或等于x的素数的分布密度接近相应x的对数函数的倒数”的微小的也是最主要的区别（一个是接近，一个是均是），而正是这个微小的区别导致素数定理有如此大的偏差.图中清楚显示的三个表达式与实际的素数分布的误差主要来自初始的抛掷，随着n越来越大，在第n次抛掷中素数出现的数量就越来越趋向于一个稳定值：（n+1）/logn.而这正是素数为什么会在总体趋势上虽然是越来越稀少，但素数总量π（x）仍然会越来越多的根本原因.遵循人们所熟知的四舍五入的概念，在累计第n次抛掷后素数出现的总量π（x）的误差是不会超过接下来的第（n+1）次抛掷中素数出现数量的一半，即0.5n/log（n+1），而当n→∞时，0.5n/log（n+1）≈x/logx.所以有（2）式：π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）成立.综上所述，从概率理论的角度可以判断素数分布确实是“素数硬币”的抛掷过程，素数在自然数里的分布是符合独立随机分布事件的特征的.而Lihn（x）明显是一条连续的转折线，转折点在（12，22，32，42，…，n2，…）这容易让我们得出结论：素数的分布接近一条连续转折线.这条连续转折线也可以称之为素数轴.

如果我们接受这样的素数分布的事实，接下来就很容易证明第三个结论：

（3）Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx），证明过程如下：

我们知道，对于Li（x）=А襵2dulogu，由于1/logu是递减函数，故当x→∞时，

在区间n2～（n+1）2显然有：（n+1）2-n2log（n+1）2<∫dulogu<（n+1）2-n2logn2.

所以nlog（n+1）+1log（n+1）2<А襠ulogu成立.

同理在区间（n-1）2～n2有：n-1logn+1logn2<А要dulogu成立.

……

г谇间32～42有：3log4+1log42<∫dulogu成立.

在区间22～32有：2log3+1log32<∫dulogu成立.

在区间12～22有：1log2+1log22<∫dulogu成立.

那么当x从（n+1）2→1时，显然有下式：

nlog（n+1）+n-1logn+…+3log4+2log3+1log2+1log（n+1）2+1logn2+…+1log42+1log32+1log22<∫dulogu.

所以∑n1nlog（n+1）+121log（n+1）+1logn+…+1log4+1log3+1log2

亦即Lihn（x）+12×nlog（n+1）

Lihn（x）+x/logx

所以Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx）是成立的.

这个结果表明：英国数学家John睱ittlewood在1914年证明的“Li（x）-π（x）是一个在正与负之间震荡无穷多次的函数”的结论是错误的，这或许就是为什么即使现在的计算机时代也找不到一个他所说的反例的原因，应该说德国数学家Gauss的第二猜测是正确的，笑到最后的是德国数学家Gauss！

结论：素数的分布其实就是素数硬币的抛掷运动！

说明：附表1除了Lihn（x）是用VB软件计算外，其余的π（x）、R（x）和Li（x）的数据均来自网上下载，这是目前能找到的最大的素数表数据，期望能找到更大的数据来进行比较.附表2

说明：表中也清楚表明了Lihn（x）、R（x）和Li（x）与π（x）相比较的误差是否满足O（x/logx）.

【参考文献】

[1]潘承洞，潘承彪.素数定理的初等证明.上海：上海科学技术出版社，1988.

[2]约翰·德比希尔.素数之恋.陈为蓬.上海：上海科技教育出版社，2008.

[3]马科斯杜索托伊.素数的音乐.孙维昆.长沙：湖南科技出版社，2009.