Kuratowski十四集定理若干问题的代数思考

2012-04-29 11:42徐向南
数学学习与研究 2012年23期

徐向南

【摘要】本文从代数的视角,通过在集合上引入幺半群结构,相对独立的给出Kuratowski十四集定理的一个证明,并在此基础上,计算出取内部和闭包变换至多生成7个集合,取闭包、取补、边界变换下至多生成34个集合.

【关键词】十四集定理;幺半群;集合数目

Kuratowski十四集定理是一般拓扑学中的一个重要结论,该定理表述为“对拓扑空间X的子集A,利用补集及闭包至多构成14种集合”.本文中笔者从代数的视角,通过对集合引入幺半群结构给出该定理的一个相对独立的证明,在此基础上,探析了通过闭包和内部变换至多产生的集合数目及由闭包、取补、取边界变换至多产生的集合数目.

一、在集合上引入幺半群结构给出Kuratowski十四集定理一个相对独立的证明

设(X,T)是一个拓扑空间,记其幂集为,并设S为从到上变换的全体,记g0为恒等变换即对任意A∈有g0(A)=A,g1为取补变换即对任意A∈有g1(A)=X-A=Ac,g2为取内部变换即对任意A∈有g2(A)=Ao,g3为取闭包变换即对任意A∈有g3(A)=A,记G为由g0,g1,g2,g3生成的集合.对于任意A∈,定义其乘积为:(gigj)A=gi(gjA).则根据定义知:g21=e,g22=g2,g23=g3,则G构成一个幺半群.事实上,对任意A∈有:(gigjgk)A=gigj(gkA)=(gigjgkA)=gigjgkAi,j,k=0,1,2,3,故其G满足结合律,且有g0是其单位元素,并且任意的(gigj)A均为X的子集,即(gigj)A∈,故G是一个幺半群.

在G上定义偏序关系,如果giA羐jA,则记gi≤gj,同样的,如果giA耮jA,则记gi≥gj.由定义可知g2≤g0,g3≥g0,如果gi≤gj,则g1gi≥g1gj,并且对于开集A有g2A=A,对于闭集A有g3A=A.

文\[1\]中已证明了内部与闭包之间的关系有:A=Acoc,即g3=g1g2g1.由于g1-1=g1,容易有g2=g1g3g1.

下证对任意闭集A有g2g3g2=g2:

由g3≥g0知g2g3≥g2g0=g2,故g2g3g2≥g2g2=g2,因此g2g3g2≥g2.又由g2g3g2≤g2g3=g2,故对任意闭集A有g2g3g2=g2或对任意集合有g2g3g2g3=g2g3.

同理可证,对任意开集有g3g2g3=g3或对任意集合有g3g2g3g2=g3g2

由g2≤g0知g3g2≤g3g0=g3,故g3g2g3≤g3g3=g3,因此g3g2g3g2≥g3g2.又由g3g2≥g3g3g2,有g3g2g3g2≥g3g2g2=g3g2,因此有g2g3g2g3=g2g3.

下面讨论由g1g3生成的幺半群:

由于g2g3g2g3=g2g3,并有g2=g1g3g1,故有g1g3g1g3g1g3g1g3=g1g3g1g3.

又g3g2g3g2=g3g2,并有g2=g1g3g1,故有g3g1g3g1g3g1g3g1=g3g1g3g1,即g3g1g3g1g3g1g3=g3g1g3.

显然,可将g1g3生成的幺半群的元素可分为三类:

第1类:单位元素即g0;

第2类:先由g1作用生成的元素,通过计算得出有:g3g1,g1g3g1,g3g1g3g1,g1g3g1g3g1,g3g1g3g1g3g1,g1g3g1g3g1g3g1;

第3类:先由g3作用生成的元素,通过计算得出有:g1g3,g3g1g3,g1g3g1g3,g3g1g3g1g3,g1g3g1g3g1g3.

综上可知,由g1,g3生成的幺半群元素数目共有14个.记这个幺半群为G2,则

G2={g0,g1,g3g1,g1g3g1,g3g1g3g1,g1g3g1g3g1,g3g1g3g1g3g1,g1g3g1g3g1g3g1,g3,g1g3,g3g1g3,g1g3g1g3,g3g1g3g1g3,g1g3g1g3g1g3}.

由于g2=g1g3g1,因此,由g1,g2,g3生成的幺半群一共有14个元素.

二、通过闭包和内部变换及闭包、取补、取边界变换至多生成的集合数目

利用上面讨论的记号、方法和结论,来探析通过闭包和内部变换及闭包、取补、取边界变换至多生成多少个集合.

1.通过闭包和内部变换至多生成的集合数目

仍可将g1g3生成的幺半群的元素分为三类:

第1类:单位元素即g0;

第2类:先由g2作用生成的元素,通过计算得出有:g3g2,g2g3g2;

第3类:先由g3作用生成的元素,通过计算得出有:g2g3,g3g2g3.

综上可知,由g2、g3生成的幺半群共有7个.记这个幺半群为G1,则G1={g0,g2,g3g2,g2g3g2,g3,g2g3,g3g2g3}.

2.通过闭包、取补、取边界变换至多生成的集合数目

下面进一步探讨由闭包、取补、取边界生成的幺半群的元素至多有多少.利用上面的记号、方法和结论,记g4为取边界变换即g4A=BdA,记G3是由g1,g3,g4生成的群.由定义容易有:g4(A)=g3(A)∩g3g1(A),g3(A)=g2(A)∪g4(A)=g1g3g1(A)∪g4(A),g4g1=g4.由于g4(A)为闭集,故有g3g4=g4.

下证对任意闭集A有g2g4(A)=В

设若不然,则有x∈g2g4(A),由于g2g4(A),故存在x的邻域U使得U羐2g4(A);又A为闭集,故U羐2g4(A)羐4(A)罙,故知x为A的内点;但x∈g2g4(A)羐4(A),即x为A的边界点,矛盾!故g2g4(A)=.

下证对任意闭集A有g4g4=g4:

由于g3g4(A)=g4(A)=(g2(A)∪g4(A))g4(A)=g2g4(A)∪g4g4(A)=А萭4g4(A)=g4g4(A),故g4g4=g4.

下证对任意闭集A有g3g1g3g1(A)=g4g3g1(A):

由于对于任意闭集有g2g3g2=g2,即g1g3g1g3g1g3g1(A)=g1g3g1(A),两边同时取补有g3g1g3g1g3g1(A)=g3g1(A).

由g4g3g1(A)=g3g3g1(A)∩g3g1g3g1(A)=g3g1(A)∩g3g1g3g1(A),另一方面由g4g3g1g3g1(A)=g3g3g1g3g1(A)∩g3g1g3g1g3g1(A)=g3g1g3g1(A)∩g3g1g3g1g3g1(A)=g3g1g3g1(A)∩g3g1(A)=g4g3g1(A),

得g3g1g3g1(A)=g4g3g1(A).

下面按照元素的次数讨论G3中的元素:

显然,1次元有3个,分别为g1,g3,g4.

经过计算,2次元有:g3g1,g1g3,g4g3,g1g4,g1g1=g0,g4g4,共6个.

3次元有:g1g3g1=g2,g4g3g1,g3g1g3,g1g4g3,g3g1g4,g1g4g4,共6个.

4次元有:g3g1g3g1,g1g4g3g1,g1g3g1g3,g4g3g1g3,g3g1g4g3=g1g1g3g1g4g3=g1μ=ν(其中μ(A)=Вν(A)=X),g1g3g1g4,g4g3g1g4,共7个.

5次元有:g1g3g1g3g1,g4g3g1g3g1,g3g1g3g1g3,g1g4g3g1g3,g1g3g1g4g3=g1g1μ=μ,g3g1g3g1g4,g1g4g3g1g4,共7个.

6次元有:g3g1g3g1g3g1,g1g3g1g3g1g3,g1g4g3g1g3g1,g1g3g1g3g1g4,共4个.

7次元有:g1g3g1g3g1g3g1,共1个.

由于g3g1g3g1g3g1g3g1=g3g1g3g1(重复出现),g4g1g3g1g3g1g3g1=g4g3g1g3g1g3g1=g4g3g1g3g1(重复出现).因此,元素的阶数必然≤7.

故G3中共有3+6+6+7+7+4+1=34个元素.

结 论

根据上述讨论可以得出:对于任意集合,集合的变换以变换的复合为运算构成一个幺半群.在此基础上证明了,由闭包和内部变换构成的集合至多有7个,由闭包、取补变换构成的集合至多有14个(Kuratowski十四集定理),由闭包、取补、取边界变换构成的集合至多有34个.

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