Kuratowski十四集定理若干问题的代数思考

徐向南

【摘要】本文从代数的视角，通过在集合上引入幺半群结构，相对独立的给出Kuratowski十四集定理的一个证明，并在此基础上，计算出取内部和闭包变换至多生成7个集合，取闭包、取补、边界变换下至多生成34个集合.

【关键词】十四集定理；幺半群；集合数目

Kuratowski十四集定理是一般拓扑学中的一个重要结论，该定理表述为“对拓扑空间X的子集A，利用补集及闭包至多构成14种集合”.本文中笔者从代数的视角，通过对集合引入幺半群结构给出该定理的一个相对独立的证明，在此基础上，探析了通过闭包和内部变换至多产生的集合数目及由闭包、取补、取边界变换至多产生的集合数目.

一、在集合上引入幺半群结构给出Kuratowski十四集定理一个相对独立的证明

设（X，T）是一个拓扑空间，记其幂集为，并设S为从到上变换的全体，记g0为恒等变换即对任意A∈有g0（A）=A，g1为取补变换即对任意A∈有g1（A）=X-A=Ac，g2为取内部变换即对任意A∈有g2（A）=Ao，g3为取闭包变换即对任意A∈有g3（A）=A，记G为由g0，g1，g2，g3生成的集合.对于任意A∈，定义其乘积为：（gigj）A=gi（gjA）.则根据定义知：g21=e，g22=g2，g23=g3，则G构成一个幺半群.事实上，对任意A∈有：（gigjgk）A=gigj（gkA）=（gigjgkA）=gigjgkAi，j，k=0，1，2，3，故其G满足结合律，且有g0是其单位元素，并且任意的（gigj）A均为X的子集，即（gigj）A∈，故G是一个幺半群.

在G上定义偏序关系，如果giA羐jA，则记gi≤gj，同样的，如果giA耮jA，则记gi≥gj.由定义可知g2≤g0，g3≥g0，如果gi≤gj，则g1gi≥g1gj，并且对于开集A有g2A=A，对于闭集A有g3A=A.

文＼[1＼]中已证明了内部与闭包之间的关系有：A=Acoc，即g3=g1g2g1.由于g1-1=g1，容易有g2=g1g3g1.

下证对任意闭集A有g2g3g2=g2：

由g3≥g0知g2g3≥g2g0=g2，故g2g3g2≥g2g2=g2，因此g2g3g2≥g2.又由g2g3g2≤g2g3=g2，故对任意闭集A有g2g3g2=g2或对任意集合有g2g3g2g3=g2g3.

同理可证，对任意开集有g3g2g3=g3或对任意集合有g3g2g3g2=g3g2

由g2≤g0知g3g2≤g3g0=g3，故g3g2g3≤g3g3=g3，因此g3g2g3g2≥g3g2.又由g3g2≥g3g3g2，有g3g2g3g2≥g3g2g2=g3g2，因此有g2g3g2g3=g2g3.

下面讨论由g1g3生成的幺半群：

由于g2g3g2g3=g2g3，并有g2=g1g3g1，故有g1g3g1g3g1g3g1g3=g1g3g1g3.

又g3g2g3g2=g3g2，并有g2=g1g3g1，故有g3g1g3g1g3g1g3g1=g3g1g3g1，即g3g1g3g1g3g1g3=g3g1g3.

显然，可将g1g3生成的幺半群的元素可分为三类：

第1类：单位元素即g0；

第2类：先由g1作用生成的元素，通过计算得出有：g3g1，g1g3g1，g3g1g3g1，g1g3g1g3g1，g3g1g3g1g3g1，g1g3g1g3g1g3g1；

第3类：先由g3作用生成的元素，通过计算得出有：g1g3，g3g1g3，g1g3g1g3，g3g1g3g1g3，g1g3g1g3g1g3.

综上可知，由g1，g3生成的幺半群元素数目共有14个.记这个幺半群为G2，则

G2={g0，g1，g3g1，g1g3g1，g3g1g3g1，g1g3g1g3g1，g3g1g3g1g3g1，g1g3g1g3g1g3g1，g3，g1g3，g3g1g3，g1g3g1g3，g3g1g3g1g3，g1g3g1g3g1g3}.

由于g2=g1g3g1，因此，由g1，g2，g3生成的幺半群一共有14个元素.

二、通过闭包和内部变换及闭包、取补、取边界变换至多生成的集合数目

利用上面讨论的记号、方法和结论，来探析通过闭包和内部变换及闭包、取补、取边界变换至多生成多少个集合.

1.通过闭包和内部变换至多生成的集合数目

仍可将g1g3生成的幺半群的元素分为三类：

第1类：单位元素即g0；

第2类：先由g2作用生成的元素，通过计算得出有：g3g2，g2g3g2；

第3类：先由g3作用生成的元素，通过计算得出有：g2g3，g3g2g3.

综上可知，由g2、g3生成的幺半群共有7个.记这个幺半群为G1，则G1={g0，g2，g3g2，g2g3g2，g3，g2g3，g3g2g3}.

2.通过闭包、取补、取边界变换至多生成的集合数目

下面进一步探讨由闭包、取补、取边界生成的幺半群的元素至多有多少.利用上面的记号、方法和结论，记g4为取边界变换即g4A=BdA，记G3是由g1，g3，g4生成的群.由定义容易有：g4（A）=g3（A）∩g3g1（A），g3（A）=g2（A）∪g4（A）=g1g3g1（A）∪g4（A），g4g1=g4.由于g4（A）为闭集，故有g3g4=g4.

下证对任意闭集A有g2g4（A）=В

设若不然，则有x∈g2g4（A），由于g2g4（A），故存在x的邻域U使得U羐2g4（A）；又A为闭集，故U羐2g4（A）羐4（A）罙，故知x为A的内点；但x∈g2g4（A）羐4（A），即x为A的边界点，矛盾！故g2g4（A）=.

下证对任意闭集A有g4g4=g4：

由于g3g4（A）=g4（A）=（g2（A）∪g4（A））g4（A）=g2g4（A）∪g4g4（A）=А萭4g4（A）=g4g4（A），故g4g4=g4.

下证对任意闭集A有g3g1g3g1（A）=g4g3g1（A）：

由于对于任意闭集有g2g3g2=g2，即g1g3g1g3g1g3g1（A）=g1g3g1（A），两边同时取补有g3g1g3g1g3g1（A）=g3g1（A）.

由g4g3g1（A）=g3g3g1（A）∩g3g1g3g1（A）=g3g1（A）∩g3g1g3g1（A），另一方面由g4g3g1g3g1（A）=g3g3g1g3g1（A）∩g3g1g3g1g3g1（A）=g3g1g3g1（A）∩g3g1g3g1g3g1（A）=g3g1g3g1（A）∩g3g1（A）=g4g3g1（A），

得g3g1g3g1（A）=g4g3g1（A）.

下面按照元素的次数讨论G3中的元素：

显然，1次元有3个，分别为g1，g3，g4.

经过计算，2次元有：g3g1，g1g3，g4g3，g1g4，g1g1=g0，g4g4，共6个.

3次元有：g1g3g1=g2，g4g3g1，g3g1g3，g1g4g3，g3g1g4，g1g4g4，共6个.

4次元有：g3g1g3g1，g1g4g3g1，g1g3g1g3，g4g3g1g3，g3g1g4g3=g1g1g3g1g4g3=g1μ=ν（其中μ（A）=Вν（A）=X），g1g3g1g4，g4g3g1g4，共7个.

5次元有：g1g3g1g3g1，g4g3g1g3g1，g3g1g3g1g3，g1g4g3g1g3，g1g3g1g4g3=g1g1μ=μ，g3g1g3g1g4，g1g4g3g1g4，共7个.

6次元有：g3g1g3g1g3g1，g1g3g1g3g1g3，g1g4g3g1g3g1，g1g3g1g3g1g4，共4个.

7次元有：g1g3g1g3g1g3g1，共1个.

由于g3g1g3g1g3g1g3g1=g3g1g3g1（重复出现），g4g1g3g1g3g1g3g1=g4g3g1g3g1g3g1=g4g3g1g3g1（重复出现）.因此，元素的阶数必然≤7.

故G3中共有3+6+6+7+7+4+1=34个元素.

结 论

根据上述讨论可以得出：对于任意集合，集合的变换以变换的复合为运算构成一个幺半群.在此基础上证明了，由闭包和内部变换构成的集合至多有7个，由闭包、取补变换构成的集合至多有14个（Kuratowski十四集定理），由闭包、取补、取边界变换构成的集合至多有34个.

【参考文献】

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