利用圆锥曲线的定义解题

董晖

考查平面解析几何的题目中，圆锥曲线的题目占重要位置，重点考查椭圆、双曲线、抛物线的相关内容.其中利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解题，能够考查学生对基本知识、基本方法、基本技能的理解、掌握和应用情况，所以在高考中出现的可能性比较大，并且有些题目用定义解题，步骤也会简化.

在学习圆锥曲线中，首先要抓住定义，只有真正理解和掌握了定义，才能找到解题思路，避免走入死胡同.

一、选择题中定义的利用

例1 椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（）.

解 由条件知，|PF1|+|PF2|=26，|PF1|-|PF2|=23（不妨设|PF1|>|PF2|），

∴|PF1|=6+3，|PF2|=6-3.

又 |F1F2|=4，∴cos∠F1PF2=13.

答案 A.

分析 直接计算|PF1|，|PF2|，思路混乱，而且计算量较大.如果用椭圆和双曲线的定义，解题过程会大大简化.

例2 F1，F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（）.

A痹

B蓖衷

C彼曲线

D迸孜锵

解 延长F2P交F1Q的延长线于M，得|F1Q|+|F2Q|=2a，|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a，则点M（x0，y0）的轨迹方程为

（x0+c）2+y20=4a2.①

设P点坐标为（x，y），∵P为F2M中点，

∴x=c+x02，y=0+y02，x0=2x-c，y0=2y.

代入①，得（2x-c+c）2+（2y）2=4a2，∴x2+y2=a2.

分析 仔细作图观察，利用椭圆定义及角平分线，难题就不难了.

二、填空题中定义的利用

例3 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标.

解 设待求点的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义，得x0+3=9，解得x0=6.代入抛物线方程得y0=±62，所以满足条件的点为（6，-62），（6，62）.

答案 （6，-62），（6，62）.

分析 利用抛物线的定义，转化条件，可以减少运算量.

例4 双曲线的虚轴长为4，离心率e=62，F1，F2分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|=.

解 ∵|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，

∴|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a.

又 ∵2|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF1|+|BF1|=|AB|，

∴2|AB|-|AB|=4a，|AB|=4a，而2b=4，ca=62，c2=a2+b2，

∴|AB|=82.

分析 此题两次应用双曲线的定义，步骤清楚简单，何乐而不为.

三、解答题中定义的利用

例5 设点F（2，0），动点P到y轴的距离为d，求满足条件|PF|-d=2的点P的轨迹方程.

解 由题意，得|PF|=2+d.

当P在y轴右侧时，为|PF|=x+2，

∴点P在抛物线y2=8x上.

当P在y轴左侧时，|PF|=2-x，

有y=0（x<0），

所求轨迹方程为y2=8x（x≥0）和y=0（x<0）.

变式 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时过点（3，0），求动圆圆心M的轨迹方程.

解 由已知，得（x+3）2+y2=4.

设圆心为A，A点坐标为（-3，0），B（3，0），动圆半径为R，

得|MB|=R，|MA|=R+2.

因此|MA|-|MB|=2<|AB|=6.

故M点轨迹为双曲线的右支，且2a=2，2c=6，

即a=1，c=3，b=22.

因此其方程为x2-y28=1（x≥1）.

例5和变式题都是用定义得出轨迹方程的，从这两道题可以深深体会到定义的重要性.

例6 设椭圆与双曲线有共同的焦点F1（-4，0），F2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹.

解 设椭圆与双曲线的交点P（x，y），得

|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.

即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.

将点P（x，y）代入，得

（x+5）2+y2=9或（x-5）2+y2=9.

故所求轨迹为圆心在（5，0），半径为3的圆，除去（2，0）和（8，0）两点；或圆心在（-5，0），半径为3的圆，除去（-2，0）和（-8，0）两点.

分析 利用圆锥曲线的定义，充分挖掘几何条件来列方程往往可以使过程变得简洁.

总之，圆锥曲线的定义，始终是高考的重点，学生学习的要点，解题的依据.