排列、组合的教学应注重能力培养

陈美高

【摘要】本文从排列组合的知识具有比其他一般内容更加抽象，有关应用题的思考性又很强以及对计箅的结果是否正确往往难以作出准确判断等这些特点出发，从七个方面论述了如何挖掘教材内涵，培养相应能力，达到教学目标的问题：

一、借助具体手段，打好感性认识基础

二、抓住本质特征，提高鉴别能力

三、按题意设计解题方案，培养层次思维能力

四、把问题引申推广，发展抽象能力

五、培养从多方面探索同一问题解法的能力

六、剖析典型错误，不断总结提高

七、培养综合运用知识的能力

排列组合是中学数学教学中教与学的一大难点.从表面上看，排列组合问题中尽是些“应用题”，所进行的计算并不难，但在做题时学生可能会感到力不从心，似乎无章法可依，无公式可用，对自己的算法和计算结果正确与否心中无底.这部分知识比较抽象，有关应用题的思考性比较强，学习它需要细致的审题，周密的思考，精确的判断和较强的思维能力.因此，培养相应能力是学好排列组合的关键.本文就此谈一些粗浅的看法.

一、借助具体手段，打好感性认识基础

排列组合的教学，“两个原理”是学习的基础，并贯穿于整个内容之中.在引入“两个原理”及排列数、组合数公式的初始阶段，一定要让学生具体去数、去排，按照一定的原则，有规律地，不重不漏地将各种情况分类列举出来，打下坚实的感性认识基础，让学生从具体列举中去体会，去理解.若过早地就抽象为法则、公式，让学生套用，不求甚解，对结论是否正确毫无信心，这并不能使学生真正获得解题的思考方法.这种坏习惯一旦养成，将会后患无穷.为此，在学习“两个原理”时，可安排如下练习：

1.连接A，B，C，D四个城市的道路如图所示，

从A到C的走法有多少种？具体写出这些走法.（3×2+2×1=8（种））

2.用1，2，3三个数字组成三位的自然数，就下列情况画出树图，求所组成自然数的个数.（1）数字可重复出现；（2）各位数字都不相同.

（（1）27个 （2）6个）

在教学时要求学生有规律地、不重不漏地列举，并注意孕伏排列、组合问题的因素.其中树图对这样列举所有排列是较好的工具，要注意发挥它的作用.

二、抓住本质特征，提高鉴别能力

排列组合问题的难点：不易区别排列还是组合；在计算时，用加法还是用乘法；对n、m，在题中哪个是n，哪个是m等.因此要解决这些难点，必须抓住本质特征，弄清各量的联系与区别，提高鉴别能力.

首先，抓住本质，分清区别.例如，通过实际问题列举与计算，使学生领会：使用加法原理的事件是独立事件，而使用乘法原理的事件则是相关联的.排列与组合的区别主要看问题是否与顺序有关.

其次，避免练习单一，即学习排列问题只做排列的练习，学习组合问题只做组合的练习，要同时出现，通过对比来提高学生的分辨能力.

下面是几个通过对比提高鉴别能力的练习题：

1.（1）四名学生分配到三个车间去劳动，有几种分配方法？（N=34=81（种））

（2）四名学生争取三项竞赛冠军，获得冠军有几种可能？（N=43=64（种））

这两个小题难于区分，关键在取哪一个做基数n.

2.三本不同的书，分给A，B，C，D，E五个人中任三人，每人一本，有几种分法？如果三本书相同的呢？（前者是排列问题N=A35=60（种），后者是组合问题N=C35=10（种））

三、按题意设计解题方案，培养层次思维能力

解排列组合问题，往往需要按题意设计一个合理的解题方案，以达到准确、迅速解题的目的.

例1 三封不同的信，有四个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

信和信箱涉及两个问题，可把信看作元素，信箱看作位置，这就把两个问题转化为排列组合问题中的两个基本要素，按题意可设计这样一个解题方案：

（1）以元素为主（信），分析各种可能：

第一步：投第一封信，有4种不同的投法.

第二步：再投第二封信，也有4种不同的投法.

第三步：最后投第三封信，仍有4种不同的投法.

因此，投信的方法共有N=4×4×4=43=64（种）.

（2）以位置为主（信箱），分析各种可能：

第一类：四个信箱中的某一个信箱有3封信，有投信方法N=C14C33种.

第二类：四个信箱中的某一个信箱有2封信，而另一个信箱有1封信，有投信方法N2=C24C23A22种.

第三类：四个信箱中的某三个信箱各有1封信，有投信方法N3=C34P33种.

投信方法总数有：N=N1+N2+N3=4+36+24=64（种）.

在解决排列组合问题中运用的排除法、整体思维法、插空档法等，实际上都是按题意设计解题方案的方法，通过对比、鉴别、提炼，逐步找到最好的解题方法.

四、把问题引申推广，发展抽象能力

从简单而具体的、看得到的、举得出的问题入手，总结出规律，并加以引申推广，这是排列组合教学中培养学生抽象能力的有效途径.

例2 图1、图2各有多少个平行四边形？图3呢？

图1共有N1=C23C23=9（个），图2共有N2=C23C24=18（个），图3共有N3=C210C212=2970（个）.

五、培养从多方面探索同一问题解法的能力

一题多解是排列组合问题的一个显著特点，从多方面探索同一问题的不同解法，不仅可以开阔思路、丰富想象力、提高解题能力，还可以借此检验计算结果，解决当答数较大时，对结果不便直接检验的难点.

例3 6名同学站成一排，其中某一名不站在排头，也不站在排尾，共有多少种排法？

用符号×△△△△×表示6个位置，按题意，某同学不能站在×上.

解法一 把某同学排在位置△上，有A14种方法，其余5人排在剩下的5个位置上，共有A14A55=480（种）.

解法二 从某同学以外的5人中，任选2人排在位置×上，有A25种排法，其余4人排在剩下的4个位置上，故共有A25A44=480（种）.

培养多种解法的能力，一是可以活跃思路，训练发散思维能力；二是可以验证判断解题是否正确合理.

六、剖析典型错误，不断总结提高

排列组合应用题最常见的解题错误来自两个方面：一是“有序”和“无序”问题，二是“重复”和“遗漏”问题，解题时稍有不慎就容易出错，因此要教会学生从错误中发现问题，总结经验，不断提高解题水平.

例4 从平面M上取出5个点，从平面N上取出4个点，利用这9个点最多能决定多少个三棱锥？

错解 从平面M上选出三点作为锥底三角形的三个顶点，从N上选取一点作为锥顶，这样可以决定C35C14个三棱锥，同理把底选在N上，把锥的顶点选在M上，又可以决定C34C15个三棱锥，故总共可决定C35C14+C34C15个三棱锥.

分析 考虑不全面犯了错误，显然遗漏了在M，N上各选取两点时所能决定的三棱锥，正确的解应再加上C25C24.

正解 最多能决定C35C14+C34C15+C25C24=120（个）三棱锥.

七、培养综合运用知识的能力

人们在工作中往往必须把学过的各种知识糅合在一起用于解决实际问题，这种综合运用知识的能力必须在中学时代加以培养，这块内容中也为我们提供了这方面的材料.

例5 从1，2，3，4，7，9六个数字中任取两个作为一个对数的底数和真数，可以得到多少个不同的对数值？

这个问题要用到对数的定义、性质loga1=0及换底公式的推论logab=loganbn，才能得到正确答案：A25-4+1，即17个不同的对数值.

教材中培养学生能力的材料俯拾皆是，有时通过一个题目往往可以培养学生多方面的能力，教学中若能积极发掘充分利用，对于解决难点，提高学生能力，达到教学目标，必将起到积极作用.

【参考文献】

[1]周沛耕，著.怎样学好高中数学.北京：科学出版社，1996.

[2]丁尔升主编.高中数学教学指导书（人教版）.1988.