从概念的本质来理解概念的内涵与外延

顾筠筠

善于解剖概念，强调概念中的关键词语，从中透彻理解其内涵——概念中对象的本质属性，它是概念质的方面，以及其外延——概念的适应范围，它是概念的量的方面.

几何概型是中学数学在概率部分新增的内容，怎样深刻理解几何概型的内涵，使解几何概型问题正确化与简单化，从而不致引入误区？几何概型在苏教版《数学3》（必修）第101页上作了详细的定义，据此，几何概型的内涵是事件的等可能性和无限性，笔者认为这里的“等可能性”是指基本事件出现的机会可能性相等，“无限性”是指基本事件有无限多个，它并不是解决几

何概型问题的关键，而主要是用来判断该事件到底是几何概型还是古典概型.同时在苏教版《数学3》（必修）第104页中指出：“由此可见，背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.”话虽然不错，但给人的感觉好像是解决几何概型问题要从基本事件出现等可能的角度去解决.我认为这是完全没有必要的，可以说是把一个简单问题复杂化，将解决几何概型问题引入误区，解决几何概型问题关键仍然是抓好“事件”并将其“几何化”，这就是概念的本质.先来看苏教版《数学3》（必修）第102页例3：如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.这里的一个基本事件是在斜边AB上取一个点M，它符合几何概型定义，所以区域D是线段AB，其测度为线段AB的长度，区域d为线段AC′（AC′=AC），其测度为AC′的长度，所以该事件的概率为2[]2.

下面看苏教版《数学3》（必修）第104页第6题：如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM

应用一个新的定义去解决问题时，只要抓住定义的本质，弄清它的内涵及外延，深刻理解定义中每句话的含义，对难理解的语句，可以通过实例不断帮助学生理解.如几何概型定义“……事件A发生的概率与区域d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关……”，这里的“与形状和位置无关”，学生不易理解，我们可以举下面的例题：甲乙两人各自在田径场上400米长的跑道上跑步，求在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米（弯道时指跑道上曲线长度）的概率.很显然这是一个几何概型问题，一个基本事件是甲乙两人在跑道上的位置，记“两人在跑道上的距离不大于50米”的事件为A，而事件A发生是甲乙两人在跑道上的距离差不超过50米，可作如下两种角度思考：思考一，先假设甲在跑道上C处（C的位置是任意的），如图1，

事件A发生，乙只要在甲前后50米之内，这种思考方法D的测度为400米，d的测度为100米，∴P（A）=1[]4.思考二，为方便计算甲乙之间的距离，我们不妨以跑道上O为起点，与O逆时针方向计算距离，设甲与O的距离为x米，乙与O的距离为y米，事件A发生就是x，y满足

如图2.这种思考方法是将区域D视为正方形，测度是正方形的面积4002 m2，而事件A发生是指落在满足条件不等式组（1）或（2）的区域d内，由线性规划知识，易知区域d是图中阴影部分，其测度为（4002-3502+502）m2，∴P（A）=4002-3502+502[]4002=1[]4.

上面的两个思考方法说明解决同一个几何概型问题，思考角度不同，区域D（d）也会有所不同，从而说明事件发生的概率与d的形状和位置无关，只与d的测度成正比.

联想、思考：进入新课程，对概念教学还采用老的“一个定义，几项注意”的方式是很不够的，应给学生提供充分的概括本质特征的机会，明确概念所反映的对象具有什么本质特征，只有对概念的内涵和外延都有了准确的了解，才能说明已经明确了概念.当然一个概念的学习，对概念的理解与掌握，还需在概念课的后继课中不断反复应用，不断加深理解，从根本上改变概念课教学中“单调乏味”及“死记硬背”的错误倾向，引导学生自主发现，归纳总结，正如波利亚指出的“学习最好的途径是自己去发现”.只有这样，才能使学生分析问题和解决问题的能力不断提高.