学之道在于“悟”

顾锋

数学解题学习是有意义的学习，因此良好的解题认知结构的建立至关重要.作为数学解题的有意义学习，必须是使学生形成良好认知结构的过程成为其主动自觉的学习过程，即要靠学生自己的领悟而获得解题策略经验积累.而领悟又要靠对思维过程的反思才能达到.如果学生在解题后即将其束之高阁而不对解题过程进行反思，那么解题活动只能停留在较低的经验水平，解题能力难有真正提高，如果在解题之后能对自己的思路作出自我评价，对整个解题过程的方方面面进行深入的探讨，那么学生的思维就可能在较多的层面上得到概括，从而提升了他们的理性思维水平，使他们的解题能力得到真正的提高.那么，老师在教学中应从哪几个方面引导学生进行解题反思呢？

一、引导学生对自己的思考过程进行反思

对自己思考过程的反思，就是在一个数学活动结束以后，努力去回忆自己从开始到结束的每一步心理活动.一开始自己是怎么想的，走过哪些弯路，碰到哪些钉子；为什么会走这些弯路，碰到这些钉子，有什么规律性的经验可以吸取；自己的思考与老师或同学的有什么不同，其中的差距是什么，原因是什么；自己在一些思考的中途是否做过某些调节，这些调节起到什么作用，或者为什么当时不能作出某些调节；自己在思考的过程中有没有作出过某些预测，这些预测对自己的思考是否起到了作用，自己在预测和估计方面有没有带普遍性意义的东西可以归纳等等.

学生对自己思考过程的反思，是一种学会学习的能力的培养，是一种学习潜能的培养，是可持续发展的人的素质的培养.

二、引导学生对活动所涉及的知识进行反思

在数学活动中总要涉及一些已获得的具体数学知识，学生要反思自己对这些所涉及的知识的认识是否达到活动所要求的程度，这包括了学生对知识理解的程度，对知识本质属性的把握程度，这些知识与认知结构中相关方面建立联系的程度，对知识的各种表达形式掌握的程度及自己对所涉及的知识是否有新的认识，有些什么新的认识，原有的认识有什么欠缺之处，这种欠缺是如何造成的，等等.

学生对某一数学对象的认识，不是在一两次数学活动中就能完成的.如就函数的概念而言，一开始对定义的学习，不可能就其所蕴含的东西建立比较深刻的、完整的认识.如函数的定义域和值域所涉及的集合，可以是整数集、实数集，也可以是几何图形；函数的对应方式，可以是统一的解析式，可以是分段的表示，也可以是一系列的数值.学生要达到对函数关系本质属性的认识水平，必然要经历一个长期的认知过程.

由于每一次活动的背景不尽相同，如果每次都能对不同背景下涉及的同一数学对象进行反思，那么就可能产生许多的认识.

三、引导学生对所涉及的数学思想方法进行反思

对数学思想方法的领会、掌握和运用，是数学学习的精髓所在.但数学思想方法没有独立存在的形式，它往往蕴含在具体内容的字里行间或伴随在具体的数学活动过程之中.数学思想方法的传播和学习，主要靠教师在长期的教学中提示、归纳、点拨，更要靠学生自己在长期的数学学习中领悟、吸收和运用.

如：若x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

中学数学中蕴含的思想方法有：转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等，消元法、降次法、换元法、配方法、待定系数法、数学归纳法和反证法等.

在数学解题后的反思中，除要注意挖掘活动中涉及了哪些数学思想方法外，更要反思这些思想方法是如何运用的，运用的过程有什么特点，这样的思想方法是否在其他情况下运用过，现在运用和过去的运用有何联系、有何差异，是否有规律性的东西.有了这样的反思，对数学思想方法的认识、把握、运用的水平就会不断提高.

四、引导学生对解题活动中有联系的问题进行反思

解题后对有联系的问题进行反思，是指在数学活动中必然要与一些相识或似曾相识的问题有所联系，因而在解题后，对那些有联系的问题进行反思.回顾整个活动中曾经与哪些问题有过联系，在什么地方联系过；思考为什么会或可以产生联系，具体产生了什么联系，是与问题的情境有联系还是与问题的方法有联系，是与整个问题有联系还是与问题的局部有联系，所有这些联系之间能否概括出某种规律或经验，经过这样的联系对原问题是否有新的认识.

五、引导学生对解题的结果进行反思

学生经过对解题过程的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答.教师要引导学生从探讨解法、挖掘规律、引申结论三个方面对解题结果进行反思.即能否利用不同知识，通过不同途径求得问题的解？是否有更一般的方法？是否有更特殊的方法？这些方法各有什么特征？通过对不同解法的比较，能否找到更满意的解法？此题的哪个方面给我启发？这个结果或解法能否适用于其他某个问题？能否找到这些问题共性的规律？能否将这个问题的结论变形、推广？能否改变一下条件或结论？等等.

解题的反思过程，不仅是回顾有关知识、解题方法及理解题意的过程，更是要反思怎样探索、走过哪些弯路和错误、为什么会出现这些弯路和错误，让学生自己学会反思并在数学学习中自觉地进行反思，在“悟”中，使学生对数学思想方法的认识、把握、运用的水平不断提高.