说说数学语言在教学中的作用

黄致和

数学语言在数学教学中占有重要的地位和作用，“如果一个学生要成为完全合格的多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一座大门并且必须通过这座门。在这座大门上用每一种人类语言刻着同样的一句话：‘这里使用数学语言。”这段话极其形象地描绘了掌握数学语言的重要性。数学教育家斯托利亚尔也指出：“数学教学就是数学语言的教学。”加强数学语言教学是提高学生数学能力和课堂教学质量的有效方法。

一、数学语言的含义

数学学科与其他学科的一个显著区别，在于数学学科中充满着符号、图形和图像，它们按照一定的规则表达数学意义，交流数学思想，这些符号、图形和图像就是数学语言。数学语言可分为两种：一种是抽象的符号语言，另一种是直观的图形、图像语言。数学符号和图形、图像是数学中的“文字”，通过它们表达概念，判断、计算、推理、证明等思维活动。

二、数学语言的功能

按照数学符号和图形在数学中的应用，数学语言的功能归纳为以下几个方面。

1.表达数的字母或几何图形的符号，具有确定的符号意义的功能。如在代数中，用“a、b、c……”表示已知数，“x、y、z……”表示未知数，几何中用“∠”表示角，用“△”表示三角形，用“∥”表示平行等，这些是数学中的象形符号。

2.数学符号具有形成数与数、数与式、式与式之间关系的功能。符号“＝”表示数或式相等，“＞”、“＜”分别表示大于和小于，“∽”、“≌”分别表示几何图形的相似与全等关系。

3.数学符号具有按照某种规定进行运算的功能。符号“+”、“-”、“×”、“÷”分别表示数或式的加、减、乘、除，“an”表示乘方，符号“sin”、“cos”、“tg”分别表示三角函数中正弦、余弦、正切，“s2”表示方差。

4.数学符号具有约定辅助功能。符号“△”表示一元二次方程根的判别式，“（）”，“”、“{}”在数学中起辅助功能的作用。数学符号有机地结合，构成了内涵深刻、丰富简明的数学语言。

三、数学语言的特点

1.一般性。研究数学的目的之一，就是尽可能地用简明而基本的语言去解释世界，数学不仅是事实和方法的总和，而且是用来描述各门科学和实际活动领域的事实和方法的语言。

2.简洁性。数学语言具有明显的简洁性，它尽可能用最少的语言符号去表达最复杂的形式关系，用数学语言表达某个数学规律，比用自然语言要简洁得多，例如勾股定理，用自然语言需表述为一大段话，而用数学语言则简单明了，数学语言大大缩短了语言表达的长度，使叙述、计算和推理更清晰、明确。

3.准确性。自然语言具有多义性，含糊不清，而数学需要准确而清楚的语言，每一个符号、式子只能有一个意思，一个数学符号确定表示某个意义后，一般不再表示其他意义。在数学语言中可能出现含混的情形只是极少数。例如几何中表示三角形的符号“△”，与代数中一元二次方程根的判别式“△”符号一样，但即使这样，从上下文的意思，仍可判断它们的确切意义，不会发生混淆，从而明确区分。

四、数学语言的教学

数学语言是一种形式化的符号语言，数学内容就蕴涵在这种形式化的符号语言中，从某种意义上说，教数学就是教数学语言，学数学也就是掌握数学语言。

1.把直观和数学语言建立联系。从具体到抽象，从感性认识发展到理性认识，这是认识的基本规律，学习数学也不例外，感知是学习数学语言的初始环节。数学语言中，名词、术语是量与空间形式的抽象，用数学符号来表示数学概念，既是数学的特点，又是数学的优点。由于数学概念本身就十分抽象，加上用符号表示，从而使概念更抽象化，因而在教学中，用学生熟悉的形象来加深学生的理解，真正使学生掌握概念符号的意义，显得尤为重要。

2.注意揭示数学符号的涵义和实质。数学的概念和原理常常用数学符号表示，这就要求在教学中，要防止概念、原理与数学符号脱节，注意充分揭示数学符号的涵义和实质。例如，在绝对值概念的教学中，引入符号|a|以后，可以从以下几个方面引导学生理解符号|a|的涵义和实质：（1）应使学生从正面理解|a|的意义，它表示的是数轴上表示数a的点与原点的距离，并给出几个具体数，如a=3，-5，0，求绝对值|a|；（2）从具体数引出|a|的值的范围为非负数，即|a|≥0；（3）引导学生从反面理解|a|的意义，若|a|=4，则a为多少？结合数轴上的图形，得出a可为两个值，以加深对绝对值|a|的理解。符号只是代表概念的物质外壳，如果学生不了解符号的涵义，不理解数学语言表达式的意义，只是一知半解地使用它，那么他们的知识将是形式主义的、无益的，因而在教学过程中，要自始至终给数学语言赋予具体内容，并通过符号、表达式的形式结构，了解其本质内容。

3.重视数学语言中语义和句法的教学。在数学教学中，学生对教学知识的理解往往表面化、形式化，其原因之一是在数学语言的学习中，语义处理和句法处理之间的配合不当。形结与内容脱节，实质上就是数学语言的符号与它们所表示的意义脱节，从教学的角度分析，这可能由于在教学中对数学语言的语义注意不够，以致使学生将问题翻译成数学语言时产生困难。许多数学符号的出现，往往伴随着一定的条件，如一元二次方程中，二次项系数不为零，若方程有解，则判别式△≥0，要结合实例，随时提醒学生，不能忽视数学语言中的条件，不能滥用数学符号。

4.把自然语言和数学语言适当结合。学生掌握数学语言是有困难的，他们必须通过自然语言去理解数学语言。初中代数和几何都是数学语言的入门，在教学中，凡引进的数学符号应当用自然语言作解释性说明，使学生理解符号语言的语义，即它的内容和意义，并明确符号语言的句法，即符号语言的形式、构造、规则，才能使学生懂得这些符号语言所表达的数学内容，否则将导致学生对数学知识的理解表面化，使形式和内容脱节。

5.循序渐进训练数学语言的叙述。学生掌握数学语言，是一个渐进的过程，指导学生进行有顺序的描述过程、概括结论、说明思路，让学生渐渐从不知如何开口，到会用，进而善用数学语言表达自己的思想，具体可采用以下几个步骤进行数学语言训练，以促进学生思维品质的发展。

（1）模仿叙述。教给学生一种说话的模式，让学生仿照模式进行思考回答，体会数学语言的表达方式。

（2）简化叙述。让学生用尽量简洁的语言叙述自己的思想。

（3）准确叙述。把自己的思想转化成符号或图形，准确表现思维的过程。

（4）推广叙述。由一个问题推广到一类问题都能用数学语言叙述。

（5）辨别真假。将错例呈现出来，通过争论来辨别其错误所在。

（6）独立叙述。能用数学语言准确地表达自己的思想。

6.提供数学交流的机会。数学教学过程必然伴随交流过程，如教师与学生的交流、学生与学生的交流，交流对数学学习是非常重要的，交流可以帮助学生在非正式的、直觉的观念与抽象的数学语言之间建立起联系，帮助学生把实物的、图形的、口头的，以及心智描绘的数学概念联系起来，发展和深化学生对数学的理解。

通过交流，学生能把自己的思想以自然语言或数学语言表达出来，并接受来自他人的思想，把数学思想由一种表达方式转换成另一种表达方式，比如把一个概念用图形或符号表示出来，用图来表示实物模型，转化成符号或语言等，进一步加深对数学语言的理解和掌握。