小学数学推理思维培养中的递进与跨越

陈继东

数学源自于古希腊语，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。悠久的学科必有其奥妙之处。信息技术在小学数学教学中的应用，能够让学生感受其中奥妙，这扇奥妙之门的开启，也是他们的思维通向阔达、广博的开始。小学生的数学思维主要包括抽象思维、观察能力、空间想象力、统计能力和初步的演绎推理能力等。其中，推理能力是指通过观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，并能有条理且清晰地阐述自己的观点。那么如何通过课程整合来培养学生的数学推理思维呢？

● 拆分与重组，推导数学概念

数学给小学高年级学生的普遍感觉是枯燥、乏味、抽象、无趣的，尤其是概念课，教师教得辛苦，学生死记硬背，效果却不尽如人意。那么如何把一节枯燥的数学概念课教“活”，让学生在充满信心与乐趣中“活”学？笔者发现，如果教师善于发掘概念的内在特点及结构，将概念“拆解”、“细分”后，让学生通过自主的探索与研究实现概念的“重组”、“联结”，那将会使学生从被动接受、缺乏信心转变成主动探究、亲身经历概念形成的完整过程。有了信息技术的支持，这一设想将更加容易实现。于是，在教授《探索5和2的倍数的特征》时，我将5的倍数这一概念进行了拆分：

师：判断下面4个两位数是不是5的倍数？（展示网络课件）学生回答，说理）。

20、35、45、54

师：请你猜想一下，如果在这些数的最高位前面任意添上一个或几个数字，这些新数还是不是5的倍数？如果在原数的数位中间添加数字呢？我们来验证一下。

教师要求学生分成两组，分别在最高位及数位中间添加数字并重新判断。分别汇报验证结果。出示结论1、结论2（如图1）。

图1

师：既然5的倍数的特征与最高位、中间数位上的数都无关，是否就与个位上的数字有关呢？我们也来验证一下。

学生操作，验证，汇报。出示结论3（如图2）。

图2

由于本课在网络环境下进行教学，学生人手一台电脑，每位学生都参与其中，因此，信息技术减轻了学生在任意添加数字后的验证负担，大大提高了教学效率，而教师的作用主要是对学生“重组”与“联结”概念加以引导，培养他们按顺序、有条理、更全面地分析与归纳问题的方法与习惯。

● 由“5”到“2”的思维递进

由于学生已经掌握了学习5的倍数特征的方法，此处让学生进行自主学习，经历观察、猜测、验证、交流、反思、归纳等过程，才能真正实现学生认知结构的自主建构。在活动中教师引导学生把操作、观察与语言表达紧密结合，既巩固了所学知识，又实现了数学推理思维的递进。

师：请你们参照刚刚学习5的倍数特征的方法，判断下面6个两位数是不是“2”的倍数？

10、26、58、74、82、93

学生分组、合作，分别尝试在这些数的最高位、数位中间及数的末位添加数字，再分别交流、汇报结果。逐一出示结论1、结论2、结论3及小结（如图3）。

图3

练习：请把下面的数按要求拉入对应的圈内(如图4)。

图4

学生独立操作完成，教师选其中几个数请代表说理（也可请男生和女生轮流读数、判断并说理由）。

练习巩固了学生掌握的2的倍数的特征，信息技术的及时反馈功能让学生获得成功的体验。学生通过说理，训练了口头表达能力，发展了思维的严密性。借此机会我又深化了2的倍数与偶数的对应关系。

师：（出示小结语，如图5，请学生齐读，并提问为什么0也是偶数？）如果要你写出一个偶数，你会怎么写？如果要把一个偶数变成奇数呢？

提问后请学生代表回答。

图5

● “数字”与“思维”的双腾飞

练习是学习效果的试金石，本课的概念教学完毕，但学生是否真正理解、能否灵活运用、有没有综合运用的能力，需要通过练习进行及时的反馈。所以在设计练习时，我进行了分层次的处理：基础性练习用于检验知识的理解程度，综合性练习则用于检验灵活运用知识的能力，拓展性练习主要训练学生综合运用知识解决问题的技能。

但这样一来，练习的量必然大增，幸好有信息技术作支撑，使运用普通教学工具很难实现的设计得以实施。另外，练习应考虑学生的具体情况，要让不同层次的学生都能得到对应的训练与提高，分层练习、因材施教是非常必要的。

1.基础练习，巩固新知

基础练习的这几道题都有多个要求（如图6），可培养学生良好的审题习惯，学会有顺序地思考问题，逐步解决问题；深化了学生对5和2倍数特征的本质理解，起到知识体系承上启下的作用；从第2题开始由学生独立进行操作练习，有疑问可以合作交流，最后进行汇报，汇报说理时要求口头表达清晰、严谨、有条理；利用信息技术的及时反馈功能，让学生获得成功的喜悦，还提高了教学效率。

图6

2.综合练习，理清思路

概念多了就容易混淆，本课虽然只有几个概念，但一旦与以前的一些概念（如整数、整十整百数、自然数、相邻的数等）组合到一起时，学生是否仍然能够保持清晰？因此，我设计了如下几道判断题：

（1）一个数不是2的倍数就是5的倍数。（）

（2）5的倍数既可能是奇数也可能是偶数。（）

（3）所有整十、整百的数一定既是2的倍数又是5的倍数。（）

（4）一个自然数不是奇数就是偶数。（）

（5）与奇数相邻的两个自然数都是偶数。（）

我要求学生独立完成判断，有困难的先进行小组内交流互助，逐题汇报订正。判断练习，进一步理清学生对概念的认识，提高他们综合运用知识的能力。

3.拓展练习，完成跨越

通过压缩式跨越，教材提供的基础知识的教学已经快速完成，但要让学生提前进入新知识领域，实现大跨步式的发展，仍需要让学生开拓视野，丰富相关的知识面。于是，我特别设计了拓展性练习，直接在原有基础上让学生阐述4、8、25的倍数特征(如图7)。数字的变化，伴随着学生思维的跨越。

同时，为了避免学生思维的定性迁移，以为3的倍数特征也是与数的个位有关，我在设计中还特意安排了11的倍数特征，为以后学习3的倍数的特征作了铺垫。在这一过程中，学生有条理并清晰地阐述自己的观点，推理能力和初步的演绎推理能力得到了有效锻炼。他们将课内知识与课外知识有机地结合起来，综合运用相关的知识解决实际的数学问题，提升了综合素养。

图7

● 反思与总结

这一课让我认识到信息技术与数学学科的深层次整合，能够使抽象的知识形象化，训练的内容多元化，知识的反馈及时化，学生的收获层次化，不但所有学生学得轻松、学有所得，教师也教得自如、负担大减，教学效益大幅提高，实现了“跨越式发展”。

学生以自主探究学习与小组协作学习相结合的学习方式进行学习，又是由浅入深、从易到难，其自信心得到了保障与提高。他们通过观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展了自身的推理能力，并能有条理且清晰地阐述自己的观点，训练、提高了口头表达能力及逻辑思维能力。学生在探索活动中，感受到数学的奥妙，在运用规律中，体验到数学的价值。