堵住思维漏洞,再现教材严谨

姚善志

思维的严谨性是数学素养之一.试想如果没有严谨性，我国的“天宫”一号能成功飞天吗？它的成功飞天要经历成千上万道程序，若某一道程序出了一点点问题，那后果是可想而知的。而江苏教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书选修2-1数学》第98页例4的解法却有失严谨.

例4：已知E、F分别是正方体ABCD-ABCD的棱BC和CD的中点，求（1）AD与EF所成角的大小；（2）AF与平面BEB所成角的大小；（3）二面角C-DB-B的大小.

只看第三问的解答：平面BDC法向量=（-1，1，1），平面BDC的法向量=（-1，1，0），所以cos＜||，||＞==，由此可得向量与的夹角约为35.26°.根据图形可知二面角的平面角与这个夹角相等或互补，所以二面角C-DB-B约为35.26°.

从上面的解题过程我们可以归纳出求二面角大小的解题步骤是：（1）分别求出两个半平面的法向量；（2）求出两个法向量的夹角；（3）根据图形判断所求的二面角的类别，是锐角还是钝角，再根据判断写出结果.根据图形判断出所要求的二面角是锐角，还是钝角，只是意会层面的，使学生难以把握.右图所示的四面体ABCD中AB=BC=CA=2，BD=1，CD=.通过计算不难发现当AD=时，二面角A-BC-D是90°.那么当AD=2.2或AD=2.4时二面角A-BC-D大小接近90°.你能通过肉眼判断出二面角A-BC-D是锐角还是钝角？

我认为下面的做法是改进后的好方法：先来分析理论基础：要求二面角A-BC-D的大小，分别过点A、D作棱BC所在直线的垂线，垂足分别为E、F（即AE⊥BC，DF⊥BC），在面BCD内过点E作直线EG∥DF，交直线BD于G，则：AE⊥BC且EG⊥BC，AEC面ABC，EGC面BCD，则∠AEG就是二面角A-BC-D的平面角.而∠AEG的大小就是与的夹角（注意向量的终点为垂足）.用这种方法解题就避免了“根据图形可知”的困惑了.现在让我来用这种方法解上述例4题的第3问：建立图示坐标系，棱长为1，过C、B分另作直线BD的垂线，垂足为G、H，则二面角C-BD-B的大小即为与的夹角.B（1，1，0），B（1，1，1），C（0，1，0），B（0，0，1）?圯=（1，0，1），=（-1，-1，0），设=λ+（1-λ），•=0得λ=推得=（，-，1）.同理设=μ+（1-μ）得=（0，0，1）.故cos＜，＞=.此处虽然作了垂足，却设而不求.

再举一例，以示方法的正确性（由2010年高考天津卷改编）：如图，在长方体ABCD-ABCD中，E、F分别是棱BC、CC上的点，CF=AB=2•CE，AB∶AD∶AA=1∶2∶4，求二面角A-ED-F的余弦值（原题是求正弦值）.

分析：不妨设AB=1，则AD=2，AA=4，CF=1，CE=，分别过A、F作棱二面角A-ED-F的棱ED所在直线的垂线，垂足分别为G、H.A（0，0，4），E（1，，0），D（0，2，0），F（1，2，1）?圯=（1，，-4），=（-1，，0），=（0，2，-4），设=λ+（1-λ），由•=0得λ=，=（，，-4），同理设=μ•+（1-μ），由•=0得μ=?圯=（-，-，-1）∴cos＜，||＞==÷（4×）=.

这种新方法的最大好处是：不用判断原二面角的类型（是锐角还是钝角），在新方法中只要知道二面角大小为两个垂向量（指向垂足的两个向量）夹角即可，且计算量较小.