图论教育教学改革与实践

张清华 陈六新 李永红

摘要：该文介绍了课题组在图论及其应用课程的教学改革、教材建设和网站建设等方面的建设思路和方法。在图论及其应用课程的教学改革方面，论文从分类教学、探究方式学习教学等方面进行了阐述；在教材建设方面，提出了凸显具有较强课程体系、突出研究前沿、注重学科交叉渗透、强化学科应用等特点的教材编写思路。

关键词：图论；教学改革；课程建设；分类教学

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2012）34-8235-03

图论及其应用是现代数学的一个重要分支，在自然科学、社会科学、机械工程中有重要的意义，生活中的大量事物之间可用图来描述，如交通图、规划图、调度图、关系图等。图论的发展历经大体上可以划分为三个阶段[1]：第一阶段是萌芽阶段，大约是从1736年到十九世纪中叶，欧拉提出的哥尼斯堡的七桥问题是最具代表性的工作；第二阶段是发展阶段，大约从十九世纪中叶到二十世纪中叶，图论相关问题得到研究者关注，如1852年的四色问题和1856年的汉密尔顿问题；第三阶段是二十世纪中叶到现在，大量的生活中的问题如生产管理、交通运输、通信、计算机等领域提出了一系列图论问题[1]。特别是现代生活中，计算机的普及使得复杂问题的求解成为可能，图论及其求解思想渗透到自然学科的各个领域，如运筹学、IT科学、控制论、社会科学和经济学等不同领域。图论越来越受到研究者广泛的重视，并得到包含数学家在内的各个学科研究者的广泛关注，各种国际学术交流活动十分活跃。

由于图论的可视化数据结构可以对自然科学和社会科学中许多问题进行描述和建模，越来越多的高校把它单独作为一门课程来开设，特别是研究生教育的大规模发展，图论及其应用这门课程在很多工科高校中得到重视。当前，国内许多高校已为信息与计算科学、计算机科学与技术、信息工程、控制与管理科学等学科的研究生开设了图论课程[2]。我校通信类、计算机类、自动化类、经管类、物理类、系统科学类等学科的研究生培养方案把《图论及其应用》作为学位课来开设。教学规模逐年扩大，每年有近600人愿意修这门课程，而大约有400人成功选课，受益面非常广泛。由于图论课程具有基本理论严谨、系统性强、高度抽象、方法灵活、强调算法、证明方法奇特等特点，而且研究内容广泛且解决问题的方法千变万化。这些都给教学带来一定的困难，如不加以探讨和改进，势必影响这门课程的教学效果。因此，必需对图论课的教学进行探讨。我们从在图论的教学内容、教学形式、教材建设等方面积极探索与实践，逐步形成了一套适合本科生或研究生学习的教学方法和教学模式。下面简单介绍这些方法，希望能够与同行共勉。

1图论课程的教学现状和存在问题

当前，图论课程教学虽然取得了长足的进步，基本能够适应学生对课程基本知识的需求。但是，在课程建设、教材建设、信息化建设、师资队伍建设等方面相对比较滞后，特别是作为以信息学科为特色的教学研究型大学的本科生的选修课，也是我校研究生教育的一门公共基础课，该课程的教学存在一些问题。

1.1教学内容陈旧

当前，我校图论课程或离散数学的图论部分的教学内容重理论、轻应用。图论课程有概念多、公式复杂和定理难证明、难理解等问题，在一定程度上造成教学难，证明抽象度高，学生难以理解，学生不能真正理解图论思想，更谈不上灵活运用图论知识来解决各种实际问题。多数授课方式都是采用先讲概念，然后用大部分时间来讲解定理及其证明，这主要源于图论的任课教师多数都是数学教师的缘故。但这种以概念定理为主的教学方式对图论这门的课程来说不太适合，它会使学生感到图论的学习非常枯燥。其次，评价学生图论课程学习的好坏，仍然是以传统的笔试为主，试题主要以例题或习题为样题。而我校相关专业的研究生学习图论这门课主要是通过图论中各种算法的学习来培养自己的编程能力或提高解决问题的能力。在教学内容上，我校图论课程的教学侧重于图论知识体系介绍和定理证明，对图论前沿的研究型课题的介绍相对较少，没有很好的激发学生学习后的创新思考。

1.2图论教学没有很好地体现学科之间的渗透思想

图论课程是在不同学科发展基础上衍生形成的，它在很大程度上具有学科交叉、相互渗透的特点，因此图论的产生和发展得益于各学科的交叉与渗透以及各个学科对图的需求，如“树”就是来源于化学、电子学和纯数学[3，4]。图论提供的理论和方法应用于不同学科，特别是我校的计算机学科和通信学科。各学科的发展和需求又为图论提供新的概念、新的课题、新的研究方法和新的研究目标，推进图论的理论发展。但目前来讲，由于教师专业方向的限制，我们的教学主要围绕图论的基本数学理论，缺乏内容上的交叉和渗透，使得教学有些枯燥乏味，有的学生是为了应付学分而选课。

1.3图论教学改革缺乏创新

当前，我校研究生教育发展迅速，专业对图论课程知识的需求日益凸显，图论课程的重要性得以提高。但是由于师资队伍发展相对较慢，而且对任课教师的专业要求较高，整个教师队伍的教学方法还有待优化，教师授课基本沿袭本科的教学模式，即“理论+证明+例子”的传统教学模式，它不利于调动学生学习积极性，也不能体现这门课程的应用性和学科交叉性，教材上的例题有些陈旧，且形式固化，很少能够与研究生的专业问题结合起来，几乎没有体现专业的需求和差异。

鉴于上述这些问题，图论的教学改革迫在眉睫。学校高度重视“图论及其应用”和“离散数学”课程的建设，设立专项的研究生创新计划，以重点项目的形式对“图论及其应用”课程进行专项建设，希望获得阶段性和实质性的结果，推动图论及其应用课程的教学改革，提高本科和研究生的教育教学质量。

2图论教学改革的思考与探索

针对我校图论教学中存在的诸多问题，我们成立了专门的课题组，对该课程进行重点建设，在教学改革、教材建设、网站建设等方面进行了思考和探索。

2.1教学改革

“图论及其应用”作为研究生后续课程如“算法分析与设计”、“算法复杂性分析”、“运筹与控制”、“信号分析”、“人工智能”、“网络优化”等的先修课程，也作为本科专业高年级的选修课，其重要性也是不言而喻的，很多研究生导师也要求学生选择这门课程。针对我校《图论及其应用》这门课程中概念比较多、论证方法独特而又千变万化的特征，再加上课时短（48学时），而且选修的学生遍及全校几乎所有的研究生专业和不同学科和层次（本科阶段有的同学没有学过），这些都给教学带来相当的困难，对这门公共基础课进行教学改革是我校研究生教学改革的重要方向。课题组在以下几方面试行教学改革尝试。

2.1.1摸清学生底细，求同存异

作为一门研究生一年级的公共基础课，面对不同层次和专业（学科）的学生，求同存异是我们必然的选择。“求同”有两个方面的意思：一是尽管学生们各自情况不同，但要选修这门课应有一个基本的公共要求，这就是要求学生掌握图论中的基本概念和结论以及基本方法。二是摸清学生选修该课程的共同兴趣，为解决第一个问题，我们将在课堂教学上把主要精力放在基本概念的讲解上和透析上，着重在于方法的剖析和应用。为此，我们在教学中注重引入大量的实例使同学们首先弄清这些基本概念和图论中常用的基本方法，适当补充一些如狼羊过河、邮递员问题、作色问题等有趣味的问题，增加课程的科普性和应用性。同时，对一些难度较大的定理证明采用具体图例，讲清论证方法的基本思路和一些可能会使学生感到困难的关键地方。“存异”是力争保留同学们对图论这门课程知识需求的不同。在讲课时，我们将图论的知识点剖析后，收集和整理出这个知识点在不同学科中的应用，给学生抛出来，让他们根据自己的专业在课下去深究。如讲到最优二叉树时，我们可以引出通信的编码问题，让通信方向的学生自己去完善。因此，课堂上着重讲解使学生普遍感兴趣的应用，而专业性较强的应用，指出方向，让学生自己查阅文献去理解和学习。

2.1.2针对专业需求，分类授课

由于我校研究生《图论及其应用》课程是公共基础课程，不同专业的需求和基础不同，为此，课题组试图分专业授课，增强授课的针对性，提高学生的学习质量，做到有的放矢。具体思路是，通过前几届学生选课情况的调查，并调研相关学院分管研究生教学的领导和部分代表性的研究生导师，了解相关学院和专业对《图论及其应用》课程的基本要求和专业要求。然后根据专业需求的不同，我们课题组将进行分组备课和分组教学，对基本的图论知识进行整体讲解，对不同专业需求的内容进行分组教学，最简单的操作方法是让学生尽可能根据专业需求和研究需求选课，我们课题组将公布不同教师的教学倾向和特点以及专业背景，让学生充分了解我们的意图，让图论课既有基础知识的学习，由于专业需求的深入教学，着力提高研究生教学质量。另外，我们试图开展专题讲座和讨论会的方式，来解答和讨论同学们提出的问题。对个别同学可以采用答疑、提供参考文献等方法来满足他们的求知渴望。

2.1.3从接受学习到探究学习

教师如何将图论及其应用课程传统的接受学习方式转变为探究学习方式，从而提高学生的积极性，提高教学效率，是本课题组的尝试研究的一个重要内容。所谓接受学习[6]是以听讲和练习为主要方式的学习方式，以突出教学的结果为标志。在接受学习中，学习的主要内容是以定型的形式呈现给学习者的。因此接受学习是本科阶段的普遍教学方法，对于研究生来讲，面对知识总量不断增加，知识更新日益加快的当今社会，仅仅掌握一些基本的知识是远远不够的，因此，用这种学习方法为研究生教学无法实现研究生创新能力培养的目标。所谓探究学习指的是学生构建知识体系，形成科学研究方法的各种活动[6]。因此，在研究生的图论及其应用课程的教学过程中，引导学生探究学习的是本课题的重点。课题组试图研究《图论及其应用》的探究学习教学模式，旨在培养研究生的创新意识、应用知识的迁移能力、对待事实证据的科学态度、对科学探究所需要的多种能力。

2.2教材建设

教材建设是课程建设的重要工作。课题组认为当前的教材虽然内容丰富，但有的内容过于理论化，有的内容体系复杂，对我校相关专业不太合适，有的内容过于简单，在一定程度上不能满足我校研究生教学的需求。为此，既要考虑到我校研究生的专业需求，又要结合研究生具有求知欲望强烈、勇于钻研的特点，同时兼顾各学科学生修课需要，我们正在组织编写一本深度和广度适中且具有我校特色的研究生“图论及其应用”课教材。课题组在为本科生多年开设离散数学和为研究生开设图论及其应用的教学实践基础上，试图编写“图论及其应用”新教材。该教材有以下几个特点。

2.2.1突出现代特色，推出学科前沿课题

我们根据图论的本质和发展趋势，特别是信息学科的发展趋势和最新研究动态，重新编写教材，力争引进与我校学科相关的图论最新进展，强调图论在信息科学中的应用，特别结合通信背景、计算机背景、控制与自动化背景、光信息背景等介绍相关图的新理论，如Petri网与网络流的内容，增加哈弗曼编码及其应用的内容。从而引入学生去深入研究和讨论，激发学生的创新欲望和求知欲。

2.2.2各学科的交叉和渗透

课题组通过多年的教学和调研发现目前的《图论及其应用》教材主要介绍图论在数学其他领域（如组合数学、矩阵论、拓扑学、群论、运筹学等）的应用，对信息学科中的应用介绍相对较少。本课题将在新的教材中除了介绍图论的基本理论和方法外，重点增加介绍图论在电子学、信息处理、管理科学、控制理论和计算机科学等方面的应用。并力争增加图论与其他数学分支的相互交叉和相互渗透上做一些介绍。借助于同构概念把图与群联系在一起，增加学科之间的渗透。

2.2.3弱化证明，注重应用分析

图论来源于实践又服务于实践。从这个意义上讲我们将在《图论及其应用》教材中把理论和应用放在重要同等的位置。按照“定义一定理一应用”的编写模式，每章节的前一部分是定义和理论部分，紧接着介绍知识的应用部分，主要是应用图论的知识解决具体的问题。对于专业性很强的应用，如通信方向、计算机或控制方向的问题，我们在章末给出阅读指南；对图论在计算机科学应用方面感兴趣的同学可参阅《图论与算法分析》等等。这样将使学生在学习中结合自己的专业有的放矢地学习和讨论。另外，弱化定理证明，着重分析图论算法的思想，重点在于这些图论算法的程序实现和应用。

2.3网站建设

为了展示图论课程的相关信息，我们进行图论及其应用课程的网站建设，建设成适合我校研究生教学的课程网站，试图通过网站传递课程的性质和目的，将授课计划、考试大纲、应用实例、案例分析等问题在网站上展示出来，同时把很多先关的参考文献和最新的研究论文放在网站，共同学们下载学习。完善网站内容，把网站建成课程的展示窗口，同时将网站也建成老师与学生的交流平台。为将该课程建设市级优质课程打下基础。

3结束语

总之，图论课程的教学改革蕴含着丰富的内容，包括教学思想、教学方法、教学手段、课程建设和网站建设等。对图论的教学并没有固定的模式可循，在教学过程中，教师要转变教学观念，“以教师为主导、以学生为主体”，因材施教，以提高学生素质为根本宗旨，把握学科教育的本质和目的，以培养学生的创新精神、学习能力和实践能力为重点，采取各种有效手段和措施，充分挖掘学生的创造力和潜力，培养学生严谨、认真、规范的科学态度，使学生能利用所学的知识和掌握的技能去解决实际问题。

致谢：特别感谢重庆邮电大学研究生教育创新计划资助项目（No.Y201110）、重庆市研究生教育改革研究项目（No.yjg123103）、重庆市高等教育教学改革研究（No.103161）和重庆市高等教育教学改革研究重点项目（No.1202033）的支持！

参考文献：

[1]徐俊明.图论及其应用课程建设探索[J].教育与现代化，1997（2）：41-46.

[2]黄晓学，苗正科.从七桥问题看图论的本原思想与文化内涵[J].数学教育学报，2008，17（4）：22-25.

[3]图论课程教学改革的探索与实践[J].中国教育创新导刊，2010（26）：53.

[4]谢政，戴丽，陈挚.关于图论课教学的思考[J].数学理论与应用，2005，25（4）：139-140.

[5]刘广军，刘信生，陈祥恩.对图论课堂教学的探讨[J].周口师范学院学报，2009，26（2）：46-48.

[6]杨朝凤.基于接受学习与探究学习的图论教学设计与实践[J].保山师专学报，2007，26（2）：30-32.