关于双边不等式的一种证明方法

李晓东 阙凤珍

摘要： 有关不等式证明的方法有很多，如单调性、归纳法、极值及凹凸性等，而对双边不等式，如果采用一般的证明方法，步骤将繁杂很多.本文借助拉格朗日中值定理求证，使不等式证明达到事半功倍的效果.

关键词： 拉格朗日中值定理不等式证明方法

拉格朗日中值定理：如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，那么至少存在一点ξ∈（a，b），使得

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.

从定理中不难发现，ξ∈（a，b），即a＜ξ＜b，这本身就是一个双边不等式，而定理结论中有f′（ξ），即含有ξ的代数式，借助a＜ξ＜b这一双边不等式，代入f′（ξ）式子中来证明一类双边不等式.

例1.证明：na（b-a）＜b-a＜nb（b-a）（0＜a＜b，n＞1）.

证:令f（x）=x，则f（x）在［a，b］上连续，（a，b）上可导，且f′（x）=nx（n＞1），由拉格朗日中值定理，?埚ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），即

b-a=nξ（b-a），

因为0＜a＜ξ＜b，所以a＜ξ＜b，

从而na（b-a）＜nξ（b-a）＜nb（b-a）.

例2.证明：当x＞0时，＜ln（1+x）＜x.

证:设f（x）=ln（1+x），则f（x）在［0，x］上满足拉格朗日中值定理的条件，所以

f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0＜ξ＜x），

又f（0）=0，f′（x）=，

所以ln（1+x）=，

又因为0＜ξ＜x，1＜1+ξ＜1+x，＜＜1，

所以＜＜x，

即x＞0时，＜ln（1+x）＜x.

例3.证明:|arctanx-arctany|≤|x-y|.

证:令f（t）=arctant，则f（t）在［x，y］（或［y，x］）上连续且可导，且f′（t）=，故由拉格朗日中值定理，?埚ξ∈（x，y）（或ξ∈（y，x），使得f（x）-f（y）=f′（ξ）（x-y）

即arctanx-arctany=（x-y）

等式两边同时取绝对值得

|arctanx-arctany|=（x-y）=|x-y|

又0≤≤1，从而|arctanx-arctany|≤|x-y|.

说明：对于一般的含绝对值的不等式，如果采用不等式的一般证明方法，则首先将绝对值不等式化为双边不等式，而本文用拉格朗日中值定理来证，对等式两边同时取绝对值，大大简化了证明过程.

总结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是构造一个辅助函数，并给出适当区间，使该辅助函数在所给的区间上满足定理的条件，然后借助a＜ξ＜b放大和缩小f′（ξ），推出要证的不等式.

参考文献：

［1］华东师范大学数学系.数学分析（第三版）［M］.北京:高等教育出版社，2003：217-224.

［2］华东师范大学数学系.高等数学［M］.北京:高等教育出版社，2003：217-224.