胡萝卜白菜自动机

陈凯

一只兔子在自家菜园子里种白菜和胡萝卜，兔子把田地划成了17列，在第一行里种的基本上全是大白菜，然而在第一行的最中间种了胡萝卜，它觉得这样最漂亮了。接下来每一行的第一列和最后一列，它都种了大白菜，不过其他位置上，它种的究竟是什么呢？

要知道，这是一只有强迫症的兔子，它所做的事情都遵循一种叫做对称的规则，从第二行第二列开始，从兔子眼里看上前一行，若左前方、正前方、右前方所种的蔬菜恰巧排得对称，那么，它就会在所站的地方种下大白菜，要是看上去不对称，就种下胡萝卜，一直到这一行的倒数第二列，其后的每一行也都是这样。

● 笔下的自动机

继续按这个规则种大白菜和胡萝卜的话，会得到怎样的景象呢？用一张纸，一支笔画一下吧。

按照兔子的“对称规则”，如果行列足够多，那么相似结构的三角形会不停地“繁衍”出来（该图形被称为谢尔宾斯基三角形，往期文章里曾通过其他方法生成过该图形）。当然，也可以把规则改成其他样子。类似的系统被称为元胞自动机，借用学术一些的定义就是：散布在规则网格中的每一单元取有限的离散状态，所有单元依据确定且相同的规则做同步更新的动力学模型。由于兔子只观察前一排的胡萝卜和大白菜，而无需左顾右盼，因此这是一个简单的一维元胞自动机，该自动机的规则可以详述如下：111生成0（即左前、正前、右前都是胡萝卜，则种白菜）；110生成1；101生成0；100生成1；011生成1；010生成0；001生成1；000生成0。如果将以上规则中生成的二进制数字连起来排成一排，则得到01011010，换算成十进制数字就是90，因此，所谓“对称规则”实际上被简称为一维元胞自动机第90号规则。

● 电子表格中的自动机

元胞自动机软件模型运行起来场景颇为壮观，如果有耐心，可以自行编写完整的程序来实现该模型，也可以在网络上找到现成的工具使用。不过，为了方便课堂演示和实验，本文用身边常见的电子表格来快速DIY出一个元胞自动机运行环境，以微软的Excel为例，步骤如下。

1．将Excel中的单元格设置成小正方形的模样，第一行除正中间的单元格设为1外，其他单元格设0，每一行的边缘单元格均预设为0，如图1所示。

2．在第二行第二列即B2单元格中输入函数“=IF(A1=C1,0,1)”，然后在第二行中，利用拖曳功能将该函数自动扩展运用到该行的每一列（如图2）。

3．利用拖曳功能将该函数自动扩展运用到该表格的每一行。

4．全选并复制所有数据，在原来的位置，将剪贴板里的数据“选择性粘贴”为数值。

5．利用“编辑/替换”菜单，将所有0替换为空字符串。

很容易通过修改函数，来改变自动机的规则，若有兴趣，可试试以下一维元胞自动机规则：111生成0；110生成0；101生成0；100生成1；011生成1；010生成1；001生成1；000生成0，结果会生成怎样的图案呢？（答案在本期找）