对数与对数函数探析

梁雅峰

知识要点：

1. 对数的概念

（1）对数的定义。

如果ax=N（a＞0，a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数（见图1）。

2. 对数的性质与运算法则

（1）对数的性质。

①负数和零没有对数，即对数的真数N＞0，底数大于0且不等于1；

②1的对数为零，即loga1=0；

③底的对数等于1，即logaa=1；

④alogaN =N；

⑤ logaaN=N（a＞0，a≠1）。

（2）对数的重要公式。

①换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1）。

②logb•logba=1，推广log•logbc•logcd=logad。

（3）对数的运算法则。

如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga（MN）=logaM+logaN；

② loga=logaM-logaN；

③logaMn=nlogaM（n∈R）；

④ logamMn =logaM。

常用结论：lg2+lg5=1，loga=-1，logaM=loganMn , loganM=logaM.

3. 对数函数的定义、对数函数的图像与性质

（1）对数函数的定义。

一般地，函数y=logax（a＞0，a≠1，x＞0）叫做对数函数，其中x是自变量。

（2）对数函数的图像与性质（见图2）。

如何确定图中（见图3）各函数的底数a、b、c、d 与1的大小关系？

作一直线y=1，该直线与四个函数图像交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0＜c＜d＜1＜a＜b。

4. 反函数

指数函数y=ax 与对数函数y=logax互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。

指数函数y=ax （a＞0，a≠1）的定义域为R，值域为(0，+∞），对数函数y=logax（a＞0，a≠1）的定义域为（0，+∞）， 值域为R。

题型一 对数的化简与求值

例1 （1）化简：（lg2）2+lg2•lg50+lg25； （2）化简：23+ log 4； （3）已知loga2=m，loga3=n，求a2m+n的值。

分析：（1）、（2）为化简题目，可由原式联想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻找解题思路；（3）可先求出2m+n的值，再用公式来求a2m+n的值。

解：（1）原式＝（lg2）2+（1+lg5）lg2+lg52=（lg2+lg5+1）lg2+2lg5=（1+1）lg2+2lg5=2（lg2+lg5）=2。

（2）23+ log 4 =23×2log 4=8×2log 4=8×2-log4=8×2log=8×=2。

（3）方法一：∵loga2=m，∴am=2，∵loga3=n，∴an=3，

故 a2m+n=（am）2•an=4×3=12。

方法二：∵loga2=m，loga3=n，∴a2m+n=a2log 2+log 3=alog12=12。

点评：（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化。（2）熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧。

题型二 比较大小

例2 比较下列各组数的大小。

（1）log3与log5；

（2）log2π，log2，log3

（3）log1.10.7，log1.20.7。

分析： （1）引入中间量如“1”或“0”比较。（2）利用对数函数的图像及单调性。

解：（1）∵log3＜log31=0，log5＞log51=0，

∴log3＜log5。

（2）方法一：∵0＜0.7＜1，1.1＜1.2，

∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，

∴＜，

即由换底公式可得 log1.10.7＜log1.20.7。

方法二：作出y=log1.1x与y=log1.2x的图像。

如图4所示。两图像与x=0.7相交可知 log1.10.7＜log1.20.7。

点评： 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见的题型，解决此类问题的方法很多。

（1）当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较。

（2）若底数不同，真数相同，可转化为同底（利用换底公式），或利用对数函数图像，数形结合解得。

（3）若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较。

题型三 对数函数的性质

例3 已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）， 如果对于任意x∈[3，+∞） 都有f（x）≥1成立，试求a的取值范围。

分析：当x∈[3，+∞） 时，必有f（x）≥1成立，可以理解为函数f（x）在区间[3，+∞） 上的最小值不小于1。

解： 当a＞1时，对于任意x∈[3，+∞），都有f（x）＞0。

所以，f（x）=f（x），而f（x）=logax 在[3，+∞）上为增函数，

∴对于任意x∈[3，+∞） ，有f（x）≥loga3。

因此，要使f（x）≥1对于任意x∈[3，+∞）都成立，

只要loga3≥1=logaa 即可，∴1＜a≤3。

当0＜a＜1时，对于x∈[3，+∞），有f（x）＜0，

∴f（x）=-f（x）。

∵ f（x）=logax在[3，+∞）上为减函数，

∴-f（x）在[3，+∞） 上为增函数。

∴对于任意x∈[3，+∞） 都有f（x）=-f（x）≥-loga3。

因此，要使f（x）≥1 对于任意x∈[3，+∞） 都成立，

只要-loga3≥1成立即可。

综上，使f（x）≥1对任意x∈[3，+∞）都成立的a的取值范围是（1，3]∪[，1） 。

点评：本题属于函数恒成立问题，即在x∈[3，+∞）时，函数

f（x）的绝对值恒大于等于1。恒成立问题一般有两种思路：一是利用图像转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题。这里函数的底数为字母a，因此需对参数a分类讨论。

题型四 与对数函数有关的综合问题

例4 已知函数f（x）=loga（a＞0，a≠1，b＞0）。

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）讨论函数f（x）的奇偶性；

（3）讨论函数f（x）的单调性。

分析：由真数大于0，求定义域，按奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性可按复合函数的单调性的规律判断。

解：（1）令＞0，解得函数f（x）的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）。

（2）函数f（x）的定义域关于原点对称，f（-x）=loga=loga=-f（x）， 故函数f（x）是奇函数。

（3）令u（x）==1+，则u（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上是减函数，所以当0＜a＜1时，函数f（x）在（-∞， -b）和（b，+∞）上是增函数。

当a＞1时，函数f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上是减函数。

例5 对于函数f（x）=log（x2-2ax+3）。

（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；

（3）若函数在[-1，+∞） 上有意义，求实数a的取值范围；

（4）若函数的值域为（-∞，-1]，求实数a的所有取值；

（5）若函数在（-∞，1]上是增函数，求实数a的取值范围。

分析：此题共有5个小题，最后所求均是a的范围，而已知又是常见的关于定义域、值域及函数的性质的条件，概念性很强，需要熟练运用对数函数与二次函数的性质求解，解答本题需要非常准确地理解与掌握函数中的每个概念。

解：设u=g（x）=x2-2ax+3=（x-a）2+3-a2。

（1） ∵u＞0，对x∈R恒成立，∴umin=3-a2＞0。

故a的取值范围为（-，）。

（2） logu的值域为R?圳u=g（x），能取遍（0，+∞）的一切值，因此umin=3-a2≤0。

a的取值范围为（-∞，]∪[，+∞）。

（3）函数f（x）在[-1，+∞）上有意义，

?圳u=g（x）>0对x∈[-1，+∞） 恒成立，

因此按g（x）的对称轴x=a分类，则得：

a＜-1g(-1)>0 或a≥-1?驻=4a2-12＜0，

故a的取值范围为（-2，)。

（4）∵函数f(x)的值域为（-∞,-1］，

∴g（x）的值域是［2,+∞），

因此要求g（x）能取遍［2,+∞）的一切值(而且不能多取)。

由于g（x）是连续函数，

所以命题等价于［g（x）］min=3-a2=2，故a=± 1。

（5）函数在（-∞，1］上是增函数?圳g（x）在（-∞，1］上是减函数，且g（x）>0对x∈（-∞，1］ 恒成立，

?圳a≥1g（1）>0，故a的取值范围为[1，2）。

点评：（1）此题用同一个函数考查了常见的既是重要的基本问题，又是容易混淆的难点问题。做完后，应注意比较与总结。如函数在某区间上有意义与其定义域是某区间两者之间是有本质区别的。函数在某区间上有意义说明此区间是它的定义域的一个子集，而不一定与定义域相同。（2）第（1）问与第（2）问也容易混淆。定义域为R是指函数式对任意x∈R都有意义；值域为R，定义域不一定为R。这要通过分析所给函数的性质来解决，如y=lgx，x的取值范围只要包含（0,+∞），y便可取到全体实数。

（西南大学附属中学）