王勇 龚俊峰
⊙襄阳一中一般地,如果[fx]是区间[a,b]上的连续函数,并且[Fx=fx],那么[abfxdx=Fb-Fa].这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.为了方便,我们常常把[Fb-Fa]记成[Fxba],即[abfxdx=Fxba=Fb-Fa].
一、对微积分基本定理的解读
1. 根据定积分的定义求定积分,往往比较困难,而利用上述定理求定积分比较方便.
2. 利用微积分基本定理计算定积分[abfxdx]的关键是找到满足[Fx=fx]的函数[Fx].通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出[Fx].
3. 在微积分基本定理中,函数[Fx]叫做函数[fx]在区间[a,b]上的一个原函数.因为[[Fx+c]=Fx](其中[c]为任意常数),所以[Fx+c]也是函数[fx]的原函数.求导数运算与求原函数运算互为逆运算.
二、微积分基本定理的活用
1. 计算定积分
例1计算定积分:[0π2sin2x2dx].
分析利用定积分的性质及微积分基本定理求定积分时,有时需先化简,再求积分.
解[0π2sin2x2dx=0π21-cosx2dx]
[=0π212dx-0π2cosx2dx]
[=12xπ20-12sinxπ20=12π2-0-12sinπ2-sin0]
[=π4-12=π-24].
点拨本题先利用降幂公式对被积函数进行降幂后,再利用定积分的性质及微积分基本定理进行计算.
例2计算定积分:[-332x+3+3-2xdx].
分析这类定积分不能直接积分,也不能换元转化,只能变换被积函数去掉其中的绝对值符号,应用定积分的性质,分区间讨论.
解 设[y=2x+3+3-2x=-4x x≤-32,6-32
[∴-332x+3+3-2xdx]
[=-3-32-4xdx+-32326dx+3234xdx]
[=-2x2-32-3+6x32-32+2x2332]
[=-2×-322--2×-32+6×32]
[-6×-32+2×32-2×322=45.]
点拨对于分段函数的定积分,可利用定积分的性质将其转化为各个小区间上的定积分的和.
2. 研究定积分中的参数问题
例3已知[f(x)=ax2+bx+c(a≠0)],且[f(-1)=2],[f(0)=0],[01f(x)dx=-2],求[a]、[b]、[c]的值.
分析根据三个条件列出三个方程,解方程组即可求出[a]、[b]、[c]的值.
解由[f(-1)=2]得,[a-b+c=2].①
又[f(x)=2ax+b],∴[f(0)=b=0].②
而[01f(x)dx=01(ax2+bx+c)dx]
[=(13ax3+12bx2+cx)10][=13a+12b+c=-2].③
联立①②③,解得[a=6],[b=0],[c=-4].
点拨本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求[a]、[b]、[c]的值.
例4 设[fx=ax+b],且[-11[fx]2dx=1],求[fa]的取值范围.
解析由[-11[fx]2dx=1]可知,
[-11ax+b2dx=-11a2x2+2abx+b2dx]
[=a23x3+abx2+b2x1-1=1].
即[2a2+6b2=3]且[-22≤b≤22].
于是[fa=a2+b=-3b2+b+32=-3b-162][+1912],结合二次函数的图象知,[-22≤fa≤1912].
故[fa]的取值范围为[-22,1912].
点拨先由[-11fx2dx=1]得到[2a2+6b2=3],再由[2a2+6b2=3]得到[b]的取值范围,然后转化为关于[b]的二次函数的值域问题,注意定义域为[-22,22].
3. 求曲边梯形的面积
例5由曲线[y=x2]和直线[x=0],[x=1],[y=t2],[t∈(0,1)]所围成图形(如图阴影部分)面积的最小值为( )
A.[14] B.[13] C.[12] D.[23]
解析[S=S1+S2=0t(t2-x2)dx+t1(x2-t2)dx]
[=(t2x-13x3)t0+(13x3-t2x)1t]
[=t3-13t3+13-t2-13t3+t3]
[=43t3-t2+13(0
由[S=4t2-2t=0],解得[t=12]或[t=0](舍去).
当[t]变化时,[S]、[S]的变化情况如下表:
[[t]&[(0,12)]&[12]&[(12,1)]&[S]&-&[0]&[+]&[S]&↘&极小值[14]&↗&]
∴当[t=12]时,[S]取得极小值[14],此极小值就是[S]的最小值,[Smin=14].故选A.
点拨本题利用定积分的几何意义、定积分的性质和微积分基本定理求出[S=43t3-t2+13(0
例6如图所示,在一个边长为1的正方形[AOBC]内,曲线[y=x2]和曲线[y=x]围成一个叶形图(如图中阴影部分),向正方形[AOBC]内随机投一点(该点落在正方形[AOBC]内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )
A.[12]B.[13]C.[14] D.[16]
解析全部事件的结果构成的区域面积为[S=1],阴影部分的面积为[S0=01(x-x2)dx][=(23x32-13x3)10=13],所以,所投点落在叶形区域内的概率为[13].故选B.
点拨本题是定积分与几何概型的交汇综合题,题目设计得小巧玲珑、韵味十足,体现了高考“出活题、考能力”的基本要求.
4. 求变速直线运动的路程
例7一物体做变速直线运动,其[v-t]曲线如图所示,求该物体在[12s~6s]间的运动路程.
分析由图可以看出物体在[0≤t<1]时做加速运动,[1≤t<3]时做匀速运动,[3≤t≤6]时也做加速运动,但加速度不同,也就是说[0≤t≤6]时,[v(t)]为一个分段函数,故应分三段求积分才能求出该物体在[12s~6s]间的运动路程.
解析[v(t)=2t (0≤t<1),2 (1≤t<3),13t+1 (3≤t≤6).]由变速直线运动的路程公式可得,
[s=126v(t)dt=1212tdt+132dt+36(13t+1)dt]
[=t2112+2t31+(16t2+t)63=494m.]
所以物体在[12s~6s]间的运动路程是[494m].
点拨用定积分解决变速直线运动的位移与路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.做变速直线运动的物体所经过的路程[s],等于其速度函数[v=v(t)(v(t)≥0)]在時间区间[[a,b]]上的定积分.因此,利用微积分基本定理求出[s=abv(t)dt].而变速直线运动的速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分成几段分别求.
5. 求变力所做的功
例8如图所示,一物体沿斜面在拉力[F]的作用下由[A]经[B],[C]运动到[D],其中[AB=50m],[BC=40m],[CD=30m],变力[F=14x+5 (0≤x≤90),20 (90
分析从[A→B→C]是变力且力的方向与物体的运动方向不一致,故应先求出变力[F]在运动方向上的分力,从[C→D]是恒力且力的方向与物体的运动方向一致.
解析在[AB]段运动时[F]在运动方向上的分力[F1=Fcos30°],在[BC]段运动时[F]在运动方向上的分力[F2=Fcos45°].
由变力做功公式得,
[W=050(14x+5)cos30°dx+5090(14x+5)cos45°dx]
[+20×30]
[=38(12x2+20x)500+28(12x2+20x)9050+600]
[=112534+4502+600≈1724J].
点拨解决这类问题的关键应弄清做功的力是恒力还是变力,而且要弄清力与物体的运动方向是否一致.