对数学教学中几个问题的思考

耿新华

英国学者Pual Ernest在《数学教育哲学》这本书一开头就引述Thom的话说：“事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也如此。”

“哲学”就是看法，数学哲学就是对数学的看法。十几年数学教学的经历使我对此深信不疑。我自己的“看法”就特别多，虽然也可能失之偏颇。

一、对数学的看法

我们教的是数学，天天在向学生“推销”数学，也“推销”自己对数学的看法。数学教育家波利亚把“不懂得你讲的课题”作为数学教师“十诫”的第二诫，我理解这里的“懂得”，不仅是当前讲授的内容，而且是整个学科的基本理论知识，以及对整个数学的看法，即数学观。对中学数学教师来说，至少包含如下几个方面。

一是对“数学真理性”的看法。传统上认为，数学是精密的科学，是绝对的真理，是各种科学真理的典范。有谁能把3+2=5推翻呢?然而“非欧几何”使“三角形内角之和为180°”成为相对真理；哥德尔的不完全性定理说明任何一个数学系统中总存在不能判定的命题（从而使希尔伯特的彻底形式化的计划告吹）；悖论的出现，动摇了“一劳永逸地打好基础”的信念。因此，我相信数学是可变的、可争的相对真理。

二是对“数学是由什么构成”的看法。事实表明：“数学是由概念、真命题（结论）构成”的看法是片面的，而“数学是由知识和活动构成”的看法符合实际，这也使我们能够在数学教学中，除了结论以外，更注重活动和过程，更注重“做数学”在学习中的作用。

三是对“数学的逻辑结构”的看法。我认为，“数学是纯演绎体系”的看法（尽管很流行）是不对的，因为“定义—定理—例题”的纯演绎教学不受学生欢迎，而“数学既有演绎的一面，又有归纳的一面”，是符合数学本性的。既教猜想又教证明，普遍受学生欢迎，观察、实验、归纳、类比、推广等合情推理，有越来越多的教师用于教学，效果很好。

四是对“数学教学”的看法。以往只教“硬”数学，只关心它的工具性，而忽视它的人文价值，这是不正确的。

五是对“初等数学”的看法。以往认为初等数学（作为中学数学的主要背景和材源）是材尽能竭、发展停滞的学科。近年我国初等数学研究事业的发展证实了“初等数学是正在蓬勃发展的学科”的看法，这使得“发现法”、“探索式”的教学有了依据。

二、正确培养“数学观念”

“数学观念”就是人们通常所说的“数学头脑”，它是指人们运用数学的思维方式去考虑问题、处理问题与解决问题的自觉意识或思维习惯。然而，在日常教学活动中，往往只注重了数学习题训练的局部强化，而忽视了数学整体效能，忽视了数学观念的正确形成。“数学观念”的形成与培养，应该贯穿于教学过程的始终，教师应发挥主导作用。因为，对于“数学观念”的形成与培养，“理解是基础，培养是关键”。

由于数学具有概念的抽象性、推理的逻辑性、论证的严密性、知识的系统性，以及应用的广泛性，因此在教学过程中，老师应当有意识地培养学生具有抽象意识、推理意识、应用意识和整体意识，从而使学生在数学的学习过程中汲取一种理性精神，形成一种数学文化，逐步积累而形成学好数学必须具备的“数学观念”。

三、关于贯彻“二主方针”，即教师为主导，学生为主体

作为一条重要的教学指导思想，我认为至少要弄清两层意思：一层是从现代认知学说上看，学习、认知是主体的自主建构，知识、能力、思想都是学习者在建构过程中发生的生理、心理变化的结果，是旧结构向新结构的转化，是别人替代不了的。由此得出的一条原则是：在学习中，凡是学生自己能做的（或在教师恰当帮助指导下能做成的），都要让学生自己去做。依此审视我们的许多教学措施，就会发现，有许多（如在课堂上缺乏针对性的大量讲解，背着学生评试卷，判作业，等等）都是无效的（有的甚至是有害的，如老师背着学生判作业）教学措施。由此去认识现在提出的学生自主学习、合作学习、研究性学习、课堂讨论式等，就会认识到是完全正确的，当然，必须有具体恰当的组织和操作形式。但是，由此便否定“讲授”，也是不正确的。讲授也有一系列优势，可以是启发式、探索式，也可以发动学生参与（通过问题或妙语，启迪学生动口、动脑，留下悬念，引导学生进入较高的思维境界），讲授可体现教师的教学技艺。在两种形式下，教师都是在帮助学生这个主体亲历数学知识的发展过程。学生当演员，当主角，教师不过是导演、导游、教练。即使是“讲授”，也不能喧宾夺主。

另一层更为重要，关系到培养什么人（主人还是奴隶）的问题。试想，如果我们不尊重学生的主体地位，他不学，强迫他；考不好，批评他；不交作业，惩罚他，那么久而久之，他就“忘记”了是为自己，为国家而学习的，而误认为是为家长上学，为老师做题的。今天是学习的奴隶，明天也不会意识到自己是社会的主人，这是很严重的问题。

四、正确看待“解题训练”

著名的数学教育家波利亚（Polya）非常重视学生的解题训练。他把“解题训练”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。在他的名著《怎样解题》一书中，还特意列出了一张《解题表》（How to solve it）。其中心思想是谈：在解题过程中应当如何诱发灵感，对解题过程中的“审清题意、寻求思路、制订计划、进行回顾”这四个步骤，作出了详细的说明。对我们进行解题训练的教学，有很大的指导意义。他特别强调探索法，在解题过程中，要合情推理，要学会猜想。

我们的数学教育需要一种带有创新意义、贯穿数学思想方法的解题训练。训练必须因地制宜，因实际水平而异，要以“跳一跳，能把果子摘下来”为度，以培养与提高能力为主。显然，波利亚所提出的“解题训练”与现今盛行的“匹配题型+固定解法”、大运动量的“傻练”式的“题海战术”是有根本区别的。为此，徐利治教授指出：“要培养一大批波利亚型的数学教师，要按照波利亚思想改革教学方法。”这应是我们的努力方向。应该看到，“题海”是人为的，是应试教育的产物。如今“题海”已客观存在，我们不主张师生陷入其中。因为“题海”会使老师“发晕”而无所适从，会使学生“发憷”而疲惫不堪。这些状况，都是我们不想也不希望看到的。我国的数学教学具有基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，我们应该发扬传统，应该重新审视这种基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。删减繁琐的计算，人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基异化”带来的倾向及由此“冲积而成的题海”。难道这不值得引起我们深思吗？让我们携起手来，身体力行，返璞归真，勇敢地跨出“题海”。

对数学教育中的一些问题进行了一番思考后，我感到：我们对教育方面的很多问题都还没有全面了解。我相信：教育在发展、认识在提高，我们会理清思路，做出成绩。