Rn上完全非线性退化抛物系统无界黏性解的存在性

王俊芳 王照良

摘 要 本文主要证明了上完全非线性退化抛物系统的耦合黏性上下解的比较原理的成立，也证明了黏性解的存在唯一性。

关键词 耦合黏性上下解 完全非线性退化抛物方程 Perron's方法

中图分类号：O1文献标识码：A

Existence of Unbounded Viscosity Solutions of Fully

Nonlinear Degenerate Parabolic Systems in

WANG Junfang[1], WANG Zhaoliang[2]

([1] Zhengzhou Vocational College of Industrial Safety, Zhengzhou, He'nan 450000;

[2] School of Mathematics and Information Science, He'nan Polytechnic University,Jiaozuo, He'nan 454000)

Abstract In this article, we prove the comparison principle for coupled viscosity sub and super-solution of degenerate parabolic systems of general form inby the technique of coupled viscosity sub- and supper-solutions. We also prove the existence, uniqueness of viscosity by Perron's method.

Key words Coupled viscosity sub and supper-solutions; Fully nonlinear degenerate parabolic equations; Perron's method

0 引言

这篇文章主要是关于下列二阶完全非线性退化抛物方程组（1.1）

在黏性意义下的解。这里 = ( 0， ]住?讇讇住是给定的函数但不一定连续。未知函数→是实值函数；其中是捉资刀猿凭卣蟮募合?

对于拟单调系统来说，比较原理并不成立，为解决这个难题，我们利用了耦合黏性上下解的技巧。首先定义： () = {}:讇住?

这里，

定义1 假定是退化抛物拟单调的。我们称()是(1.1)的黏性上下解，如果≤≤, ∈， 并且满足

，

；

，

。

这里是通过∈讇锥ㄒ宓模可见[6]。

此时，如果 和 都是 (1.1)的耦合黏性上下解。则称为 (1.1)的耦合黏性解；如果是 (1.1)的耦合耦合黏性解，称为 (1.1)的黏性解。

在文献 [6,7]里定义的黏性解仅适用于标量退化椭圆或抛物方程，而上述定义在[4,9] 中成为研究完全非线性抛物或椭圆系统一个有力工具。这篇文章，我们不仅证明了比较原理的成立，也证明了全空间上黏性解的存在唯一性，这个结果拓展了文献[9]的内容，那里的区域是有界的。

1 比较原理

为建立比较原理，我们需加一些条件。

（1）：存在常数＞0，使得()(,,,,)≥-，，() ∈ 。

（2）：存在连续函数满足 = 0使得对每一个固定，

(,,,,)() ≤ [||(1+||)]

, ∈,,,且≤。

（3）：存在常数使得

|()(,,,,)|≤||

∈, (,,,)∈

（4）：对每一个， = {|()|:||,||≤}＜∞。

定理1 设是退化抛物拟单调的且满足 (1)-(4)，让是(1.1)的耦合粘性上下解。假定至多线性增长，即存在，使得

≤(1+||), ≥-(1+||)（2.1）

则≤

在证明定理 1之前，我们先做出下面的粗略估计。

性质1. 假定满足条件(4)。让是(1.1)的耦合黏性上下解。满足 (2.1)式。则对每个 ＞，存在常数 = (, )＞0使得

()()≤ ||+（2.2）

证明：假定和—在上上半连续，让

() = ,=(1+||1/2) +

我们仅需证明，()≤，选取足够大。（2.3）

选择一组上函数，具有性质：

（a）：≥0； （b）：() = 0, ||＜, ；

（c）：；

（d）： = {|()|+|()|:∈,＞0}＜∞。

考虑函数 () = () (() + ())

由（2.1）和（c）知 ()＜0若||2 + ||2≥且0≤,≤，足够大。假设（2.3）错误，由（b）得，{}＞0, 足够大。注意到 在(,,,)上达到最大值，这里0＜ ,＜ , ,＜。于是

( ,+, )∈ ( ) ，

( ,, - )∈ ( )

这里 = ((1+||2)1/2) │z =x-y , = ((1+||2)1/2)│z =x-y , =

由于是(1.1)的耦合黏性上下解，则有

+ ((),, + ,)≤0（2.4）

+ ((),,, -)≥0（2.5）

又由（d）和的定义，知

| + |, | |, ||, |-|≤， = ( , )

两式相减，再由（4），得≤，如果选取大于和，得出矛盾。

设 ， ＞0,＞1让其中 () =,= (||2 + ||2)+

性质2.假设和满足（2.2），且 = {():|＞ ,|()∈}＞0，则存在常数，使得()＞,0＜ ＜, 0＜ ＜ 0,＞1 （2.6）

证明：由（2.2）式知 ＜ +∞。根据条件，存在一点() ，使得()＞3/4且||4＜/ ， 足够大。注意到 ()＞，因此 ()＞,, 充分小。

定理1的证明。反证，假设结论错误，则存在 ∈ ,＞0，使得={ :||＞ , ∈}

={{ :||＞ , ∈}}（2.7）

现在考虑函数

由（2.2）可看出是负的在紧集 [0, )??外。因上半连续，由（2.6），在点(,,)达到最大值，这里(,,)依赖于 , , 且(,,)＞0，则

≤|| +( 1+ )， （2.8）

根据和耦合黏性上下解的定义，可知≠0且≠，则存在数和 ∈，使得( +,+)∈ (), (,)∈()，

从（2.8）式看出 （||2 + ||2）和 ||3有界，且与0＜ , ≤1和 ＞1无关。因此当 →0时， , 收敛于0，关于一致。当 →∞时，||→0关于0＜ ,≤1一致。由[10]性质4.4，有||4 = 0，又由()是耦合黏性上下解，则

+ (, ,(),,+ ,+ )≤0 (2.9)

+ (, ,(),, , )≥0 (2.10)

两式相减并注意下半连续，让 →0，得

0≥ +(, ,(),,, )(, ,(),, , ) = +1+ 2+ 3

这里(, )是()的极限点，当 →0时，且＜，其中

1= (, ,(),,, )(, ,(),, , )；

2=(, ,(),,, )(, ,(), , , )；

3=(, ,(),,, )(, ,(), , , )

由条件（1）知 1＞ ( )→，当 →∞时；由条件（3）和（2.7），知 2＞，当 →∞时； 又由条件（2）和＜知，当 →∞， , →0时， 3≥- (|| (1+)) = -(|| +||4)→0。所以，≥，当 →∞， , →0时。于是得出矛盾，因为 ＞ ，故比较原理成立。

2 黏性解的存在

定理2.假定满足定理 1的条件。为(1.1)的黏性上下解，≤且和至多线性增长。则(1.1) 有唯一黏性解。

对于定理2，我们不再给出证明，它是Perron方法的直接结果。

本文受福建省教育厅A类科技项目（JA09202）、河南理工大学青年基金（Q2011-36A）资助

参考文献

[1] H. Engler, S.M. Lenhart, Viscosity solutions for weakly coupled systems of Hamilton-Jacobi equations, Proc. London Math. Soc. 63 (1991) 212-240.

[2] H.Ishii, Uniqueness of unbounded viscosity solution of Hamilton-jacobi equations, Indiana. Univ. Math. J. 33, No.5 (1984), 721-748.

[3] H.Ishii, Perron's method for Hamilton-Jacobi equations, Duke Math J.55 (1987), 369-384.

[4] H. Ishii, S. Koike, Viscosity solutions for monotone systems of second-order parabolic PDEs, Comm. Partial Differential Equations 16 (1991) 1095-1128.

[5] H. Ishii, S. Koike, Viscosity solutions of a systems of nonlinear second-order parabolic PDEs arising in switching games, Funkcial. Ekvac. 34 (1991) 143-155.

[6] M.G. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions, Users guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (1992) 1-67.

[7] M.G. Crandall and P.L. Lions, Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations, Trans. Amer. Math. Soc. 277 (1983) 1-42.

[8] S.M. Lenhart, Viscosity solutions for weakly coupled systems of first order PDEs, J. Math. Anal. Appl. 131 (1988) 180-193.

[9] W.Liu, Y.Yang, G.Lu,Viscosity solution of fully nonlinear parabolic systems, J. Math. Anal. Appl. 281 (2003) 362-381.

[10] Y. Giga, S. Goto, M.-H. Sato,Comparison principle and convexity preserving properties for singular degenerate parabolic equations on unbounded domains, Indiana. Univ. Math. J. 40, No.2(1991), 443-470.