例谈解三角问题的变换技能

叶新哲

三角变换的核心问题是“变”，三角问题中的化简、求值、证明（等式或不等式）都需要进行恒等变形，只要变得适当，就有利于我们选用恰当的公式，简捷地解题.

本文将常见的变换思路分析如下.

一、名变

在式中出现较多异名函数时，应尽量减少函数名称，最好化为同名函数，以利于把握变换方向.

例1.已知：函数f（x）=tgx，x∈（0，），若x，x∈（0，）且x≠x，证明:［f（x）+f（x）］＞f（）.

证明：（tgx+tgx）=

==

∵x，x∈（0，）且x≠x

∴sin（x+x）＞0，cosxcosx＞0且0＜cos（x-x）＜1

从而有0＜cos（x+x）+cos（x-x）＜1+cos（x+x）

由此得（tgx+tgx）＞=tg

即［f（x）+f（x）］＞f（）

说明：切割化弦、弦化切割是名变中常用技巧.

二、变角

当三角函数式中出现较多异角时，应当尽量减少异角，同时，注意从角与角之间的关系入手，寻求解题捷径.

例2.求的值.（1997年全国高考题）

分析：常规方法是先积化和差，整理后再和差化积，计算较繁杂，其实仔细观察角的特点：

7°=15°-8°就有sin7°=sin（15°-8°）=sin15°cos8°-cos15°sin8°，同样有

cos7°=cos15°cos8°+sin15°sin8°，代入原式整理得值为：2-.

说明：在分析角之间的关系时，还要注意用整体思想看待角之间的隐含关系，如：

2α=（α+β）+（α-β），α+β=2•=2［（α-）-（-β）］等，特别当两角和或差为（k∈Z）时，注意使用诱导公式化为同角.

三、次变

当式中出现二次以上的三角函数时，可以考虑降幂.

例3.求函数y=+sin2x的最小值.（1994年全国高考文科题）

解：∵sin3xsinx+cos3xcosx

=sin3xsinx+cos3xcosx

=（sin3xsinx+cos3xcosx）-（sin3xsinx-cos3xcosx）•cos2x

=cos2x+cos2xcos4x=cos2x（1+cos4x）

=cos2x•2cos2x=cos2x

∴y=+sin2x=sin（2x+）

故当sin（2x+）=-1时，y有最小值-.

说明：有时为了消去角的差异还可以利用半角公式进行升次变换.

四、“1”的变

数“1”有很多特征，1在三角函数式中更有许多变形，巧用“1”的变形，也是三角变换中常用的技巧.

例4.已知＜x＜，cos（x+）=，求的值.

分析：从求值式子结构特点，可以启发我们从分子中变换出与分母对偶的式子，利用1=tg消除角的差异.

解：∵＜x+＜2π，cos（x+）=

∴＜x+＜2π，sin（x+）=，tg（x+）=-

∴原式==sin2x•

=-cos2（x+）tg（x+）

=［1-2cos（x+）］•tg（x+）

=［1-2•（）］（-）=-

说明：常用的“1”的变换还有1=sinα+cosα，1=tgα•ctgα，1=secα-tgα，1=cos2α-2sinα等.

五、万能变换

应用万能公式，可以把α的六种三角函数变为tg的有理式，角与函数的差异都消去了，然后借用代数运算解决问题，应用是相当广泛的.

例5.已知:0＜α＜π：求证：2sinα≤ctg，并讨论α为何值时等号成立？

证明：令tg=t，0＜α＜π，知t＞0，利用万能公式，原式化为：4••≤.

以t（1+t）＞0乘以两端.问题转化为证明：8t（1-t）≤（1+t）

化简得：-9t+6t-1≤0，即：-（3t-1）≤0（*）

显然上式成立.每步可逆，故原式成立.

（*）式中当且仅当3t-1=0，t=，即tg=，α=时等号成立.

说明：利用万能公式将三角运算化为代数运算，可以促进条件、结论的转化.

六、辅助变

在运算或证明某些三角问题时，巧妙地引用一些辅助元素或辅助式，可以达到简捷、顺利解题的目的.

例6.求函数y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最大值.（1991年全国高考题）

解：构造原函数的对偶式z=cosx+2cosxsinx+3sinx

则y+z=4+sin2x，y-z=2cos2x

两式相加得：y=2+sin（2x+）

所以函数的最大值为：.2+.

说明：若能构造恰当的对偶式，则不仅能使问题巧解妙证，有时还能取得出奇制胜的效果.

七、和积变

遇积想到化和差，遇和差想到化积，这是三角变换的常用思路之一.

例7.已知△ABC的三个内角A，B，C满足A+C=2B，+=-，求cos的值.（1996年全国高考理科题）

解：由题设知B=60°，A+C=120°，A=120°-C

∴cos=cos（60°-C），cosB=

利用和差化积与积化和差公式，则：

由题设可知=-=-2

所以4cos（60°-C）+2cos（60°-C）-3=0

即［2cos（60°-C）-］［2cos（60°-C）+3］=0

因为2cos（60°-C）+3≠0，所以2cos（60°-C）-=0

所以cos（60°-C）=，即：cos=

说明：和积互化指和差化积与积化和差，灵活运用和积转化，常常能找到有效的解题途径.

八、题型变

把某些三角问题中的三角函数看成“代数变元”，做适当的代数变换，就可以把三角题型转化为代数题型，运用相关的代数法则和公式，问题便能顺利获解.

例8.函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是?摇?摇.（1990年全国高考题）

分析：由sinx+cosx与sinxcosx的特殊关系，运用代数变换转化为熟悉的二次函数在闭区间上的最值.

解：设sinx=m+n，cosx=m-n，sinxcosx=m-n，sinx+cosx=2m

由sinx+cosx=1得m+n=，即n=-m，其中m=（sinx+cosx），m∈［-，］

所以y=m-n+2m=2m+2m-=2（m+）-1

故当m=时，y=+.

说明：在三角问题转化为代数问题时，不要忽视了“变元”的取值范围.

九、数形变

利用构造几何图形实现数形变换，能借助图形性质直观简捷的解决问题.

例9.求sin20°+cos50°+sin20°cos50°值.

分析：由问题的外形结构特征，可令我们联想到余弦定理，进而设法构造三角形解之.

解：构造如图所示的两个三角形，使AB=1，∠ABC=20°，∠BAD=50°，则AC=sin20°，AD=cos50°

由于A，B，C，D四点共圆且直径为1，故

CD=sin120°=

由余弦定理得：

sin20°+cos50°+sin20°cos50°=sin20°+cos50°-2sin20°cos50°cos120°=CD=

说明：本题也可采用辅助变，构造对偶式解，读者可自行完成.

十、实虚变

有些问题，若已知条件呈现的结构条件，能联想复数的三角形式，那么我们就可利用复数变换进行运算，即将实数运算转化为复数运算.

例10.已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tg（α+β）.（1990年全国高考题）

解：设z=cosα+isinα，z=cosβ+isinβ，

则：z+z=（cosα+cosβ）+i（sinα+sinβ）=+i

又由cosα+cosβ=，有+=

变形得：zz（-z-z）=z+z

所以zz===+i

又：zz=cos（α+β）+isin（α+β）

所以：cos（α+β）=，sin（α+β）=

故：tg（α+β）=

说明：实虚变换的目的是获取简捷的解法.