多元函数最值问题

张林

2012年高考的硝烟已经渐渐散去，江苏卷让人印象深刻，留下许多值得回味的东西.笔者对14题这道压轴填空题比较感兴趣，这个题目属于多元函数最值问题，此类题型常常作为压轴填空题，一直备受关注.下面举例谈谈多元函数最值问题的解法.

一、不等式法：利用均值不等式求最值

例1：已知x，y，p均为正实数，且+x+y＞p恒成立，求p的取值范围.

解：由已知得：p＜恒成立

即求p≤

令t=得

∵x＞0，y＞0

∴t=+

≥+=3

当且仅当x=y时取等号

∴p的取值范围为p≤3

注：本题运用了均值不等式求出最值，还可用柯西不等式、排序不等式等求解，由于高考只要求均值不等式，在此不再列举.

二、消元法：转化为一元函数问题

1.代入消元法.

例2：已知x，y，z∈R且x+y+z=1，x+y+z=3，则xyz的最大值为多少？

解析：本题涉及x，y，z三个字母，属于多元函数问题，已知两个等式，考虑消去两个变量转化为一元函数问题.

解：由x+y+z=1得x+y=1-z

∴x+y+2xy=1-2z+z

又∵x+y+z=3

∴xy=z-z-1（*）

由x+y≥2xy得3-z≥2（z-z-1）

∴-1≤z≤

由（*）式xyz=z（z-z-1）=z-z-z-1≤z≤

利用导数法易求得（xyz）=

2.整体消元法：将几个变量的整体看成一个变量起到消元作用.

例3（2012年江苏省14）：已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，求的取值范围.

【解析】条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化为：3?+≥5+≤4≥e.

设=x，y=则题目转化为：

已知x，y满足3x+y≥5x+y≤4y≥ex＞0，y＞0，求的取值范围.作出（x，y）所在平面区域（如图）.求出y=e切线的斜率e，设过切点P（x，y）的切线为y=ex+m（m≥0），则==e+，要使它最小，须m=0.∴的最小值在P（x，y）处，为e.此时，点P（x，y）在y=e上A，B之间. 当（x，y）对应点C时，y=4-xy=5-3x?圯5y=20-5x4y=20-12x?圯y=7x?圯=7，

∴的最大值在C处，为7.∴的取值范围为［e，7］，即的取值范围是［e，7］.

3.不等式放缩消元

例3：已知三次函数f（x）=x+x+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为?摇 ?摇.

解：f′（x）=ax+bx+c由条件f（x）在R上单调递增，得f′（x）≥0恒成立，∴a＞0Δ=b-4ac≤0?圯a＞0?摇≤，∴=≥，

令t=-1（0＜a＜b，∴＞1），

∴===t++≥2+=3，当且仅当=，即t=3时取“=”，∴的最小值是3.