指数期权与现货价格之间的动态关系及其定价偏差研究

魏洁

摘要：本文以香港恒生指数期权为研究对象，对期权与标的价格之间的动态关系和指数期权定价偏差进行研究。研究结果表明：恒生指数分别和恒生指数看涨期权、恒生指数看跌期权之间存在相互关联的关系，引起看涨期权价格偏差的主要原因有期权价值状况、到期日隐含波动率、交易量等因素。这个结论为中国持续连贯地发展股指衍生品市场提供了坚实有力的证据。

关键词：指数期权；价格偏差；运行效率

Abstract：In this paper，we analyze the dynamic price relationship and the price bias between index option and the underlying assets in Hangseng index option market. We find that there is some correlation between Hangseng index and Hangseng index options. The option price bias is influenced by options value，maturity，implied volatility and trading volume. This conclusion explains why China should continuously develop the index derivatives markets.

Key Words：stock index option，pricing bias，operation efficiency

中图分类号：F830文献标识码：A文章编号：1674-2265（2012）06-0003-06

一、引言

日前，中金所成立了股指期权研究小组，开始深入研究股指期权各项事宜。证监会也鼓励股指期权的研究和推进。股指期权正式纳入中国金融创新的时间表。股指期权推出后，将对现货市场和已经存在的其他金融衍生品市场产生怎样的影响，成为学术界、实务界和监管者共同关注的问题。本文以香港恒生指数期权市场为例，研究期权与现货价格之间的动态关系，以期对我国股指衍生品市场的持续发展和完善提供理论和实证上的支持。

对期权与现货价格动态关系的研究是期权市场研究中基础性的工作，对了解期权市场的运行效率具有重要意义。本文借助ADF检验、VAR模型、格兰杰因果关系及脉冲响应分析等方法，研究了香港恒生指数期权与现货价格的动态关系，并由此分析香港恒生指数期权市场的运行效率。

股指期货出现后，国际金融市场出现了一个重要的研究领域，即股票指数期货价格和现货价格的关系问题。研究的焦点之一是期货和现货价格是否具有领先—滞后关系（lead-leg relationship）。随着股指衍生品市场的不断完善，不少学者将其研究领域扩展到股指期权市场。马内斯塔尔和兰德尔曼（Manaster和Rendleman，1982），巴塔查里亚（Bhattacharya，1987）及安东尼（Anthony，1988）实证证明期权价格领先股票市场。菲纽肯（Finucane，1991）报告称相关指数期权价格领先股票市场至少15分钟。斯蒂芬和惠利（Stephan 和Whaley，1990）利用CBOE活跃的看涨期权5分钟数据证明股票市场领先期权市场大约15—20分钟。陈、钟和约翰逊（Chan、Chung 和Johnson，1993）利用非线性多元回归模型证实了斯蒂芬和惠利的结论，他们认为之所以出现现货市场领先期权市场可能是由于期权交易不频繁导致的一种假领先。格威利姆和巴克尔（Gwillym和Buckle，2001）利用小时数据检验了FTSE100指数及其衍生品之间的价格关系，认为指数看涨期权强烈领先指数期货，指数期货强烈领先指数看跌期权，表明市场上升或下跌的预期可能会影响到市场间的领先—滞后关系。江和冯（Chiang和Fong，2001）研究了香港恒指现货、期货和期权市场间的领先—滞后关系，结果为期权收益滞后于标的指数现货市场，恒指期货市场领先恒指现货市场，但比其他国家领先要少。他们认为可能的原因是由于恒指中有几个成分股票交易量大、交易活跃。南等（Nam等，2008）运用不同的方法研究了韩国KOSPI200股指衍生品市场之间的关系及其指数期权的价格偏差现象，认为指数期货和指数期权市场均对现货市场有价格发现的功能，但指数期权的价格发现功能强于指数期货，期权市场价格偏差受市场有效性、期权价值状况和隐含波动率等因素的影响。

目前国内对于股指衍生品的研究仍然集中在股指期货上，还没有学者聚焦在股指期权和基础资产价格动态关系的理论和实证研究上。本文的贡献在于明确了香港恒生指数买权、指数卖权和标的资产价格之间的动态关系，并且对恒生指数看涨期权的价格偏差影响因素进行研究。结果表明恒生指数和恒生指数看涨期权、恒生指数看跌期权存在相关关系，恒指期权市场受现货市场的影响较大，但对现货市场的影响较小。对恒生指数看涨期权的价格偏差的研究结果表明，引起看涨期权价格偏差的主要原因有期权价值状况、到期日、隐含波动率、交易量等。

二、数据与模型

香港交易所1986年推出第一张指数期货合约——恒生指数期货合约，之后在1993年推出恒生指数期权，而后为迎合个人投资者需要，分别于2000年及2002年推出小型恒生指数期货与期权合约。香港股票指数衍生品市场发育程度非常高，其股指期货和期权的交易额在亚太地区均稳居前三名。

（一）数据及其来源

本文恒生指数数据来自万德资讯（WIND）。恒生指数看涨期权样本期间为2008年3月3日到2009年3月9日；恒生指数看跌期权样本期间为2008年9月30日到2009年3月9日，均为日数据，数据来自DataStream。无风险利率选取6个月香港银行间拆借利率HIBOR （Hong Kong Inter Bank Offer Rate），数据来自万德资讯。

（二）股指期权隐含指数的计算

期权合约收益的计算比较复杂。原因在于：（1）面临着选择期权合约的问题。具体到每种期权产品，会由于有不同的到期日、不同的执行价格、是看涨还是看跌期权有多种不同的合约。选择哪种合约不是一件简单的事情。（2）由于单个期权合约的交易量比较少，可能存在成交不活跃的问题，某些信息可能不会反映在期权价格上。为了解决这两个问题，本文根据斯蒂芬和惠利（1990）、弗莱明等（Fleming等，1996）、马内斯塔尔和兰德尔曼（1982）、南（Nam，2008）的方法，恢复出期权价格中隐含的现货指数。股指期权是标的现货股票指数的一种衍生产品，它们之间存在如下的价格关系：

（1）

代表t时刻指数期权的价格； 代表t时刻标的指数的实际值。

在允许存在价格偏差 的情况下，将式（1）转换，得：

（2）

因此，给定期权价格、除现货指数S之外的其他变量值和期权定价模型，隐含的指数值就可以计算出来。

由于恒指期权是欧式期权，根据马内斯塔尔和兰德尔曼（1982）、南（Nam，2008）的研究，不考虑红利，利用Black-Scholes 期权定价公式来恢复其隐含的指数点位。本文研究的恒指连续期权合约为恒生指数期权的连续图，它以主力合约为连续，每月1日转到下一个主力合约（如6月份的走势是6月的恒指期权走势，到7月1日转为7月的恒指期权走势）。各月份的交割缺口得到处理，因为没有价格中断，所以走势连续，易于观察和使用。本文关于波动率的选取，根据南等（2008）的研究，利用恒生指数平价期权所对应的隐含波动率作为B-S公式中的输入值。

三、实证过程及结果分析

（一）恒生指数和恒生指数买权、恒生指数卖权的关联性研究

1. 单位根检验及结果。变量之间存在协整关系的前提是各变量是否服从单位根过程，常用的单位根检验方法是ADF检验。本文分别对研究期间内的恒生指数、恒指买权隐含指数、恒指卖权隐含指数进行了平稳性检验。

图1：恒生指数和买权隐含指数对数序列图

图2：恒生指数和卖权隐含指数对数序列图

由图1、图2 可以看出，所检验对数序列随时间变化有下降趋势，所以做ADF检验时，采用包含常数项和时间趋势项的方程进行检验。滞后期的选择以AIC和SC准则为依据，找到使AIC和SC值最小的滞后期值。检验结果见表1。

表1：各指数序列单位根检验结果

变量 ADF 临界值（1%） 临界值（5%） 结论

LNI -2.5537 -3.995492 -3.428049 非平稳

DLNI -9.25421 -3.996113 -3.428349 平稳

LNIC -2.85445 -3.995645 -3.428123 非平稳

DLNIC -18.2341 -3.995645 -3.428123 平稳

LNIP -3.27701 -4.046925 -3.452764 非平稳

DLNIP -11.0609 -4.047795 -3.453179 平稳

由表1可以看出，原序列都是不平稳的，而一阶差分后序列都是平稳的，因此这些变量都是一阶单整的，即I（1）序列。

2. VAR模型检验。为了明晰恒生指数和恒生指数买权、恒生指数卖权之间的短期相关性，分别建立向量自回归（VAR）模型。根据AIC和SC信息量取值最小的准则确定模型的阶数，建立2阶VAR模型如下（括号内为t统计值）：

LNI=1.0536LNI(-1)-0.0462LNI(-2)-0.1515LNIC(-1)+0.1362LNIC(-2)+0.0718 (3)

[6.9057][-0.3051] [-0.8969][0.8137] [0.3520]

LNIC=0.2043LNI(-1)-0.1641LNI(-2)+0.6342LNIC(-1)+0.3007LNIC(-2)+0.233806 (4)

[1.4914][-1.2072] [4.1832 [2.0003][1.2774]

LNI=1.1729LNI(-1)-0.1247LNI(-2)-0.3447LNIP(-1)+0.1828LNIP(-2)+1.0909(5)

[3.3380][-0.3823] [-0.9569][0.5636] [2.3032]

LNIP=0.6075LNI(-1)-0.2345LNI(-2)+0.2075LNIP(-1)+0.3500LNIP(-2)+0.6866 (6)

[1.7948] [0.7465][0.5980] [1.1207] [1.5049]

式（3）和（4）的拟合优度分别为0.9858和0.9747，式（5）和（6）的拟合优度分别为0.7980和0.8493，可得恒生指数与恒生指数买权、恒生指数卖权在短期内都具有较强的相关性。

3. Johansen协整检验。由上述VAR模型可知，短期内恒生指数和恒生指数买权、恒生指数卖权之间存在相关关系，下面通过协整关系检验对恒生指数与恒生指数买权、恒生指数卖权的长期均衡关系进行分析。由单位根检验结果可知，LNI、LNIC和LNIP都是一阶单整序列，可以用极大似然估计法进行协整检验。

（1）恒生指数与恒生指数买权的Johansen协整检验结果。恒生指数具有明显的波动性，不能看作有时间趋势，选择没有时间趋势项但有截距的方程。表2是恒生指数与恒生指数买权的Johansen协整检验及其结果。

表2：恒生指数与恒生指数买权的Johansen检验结果

假设的协整性方程个数 特征值 迹统计量 临界值（5%）

没有 0.023574 5.994487 15.49471

最多一个 0.000413 0.101965 3.841466

由表2可以看出，在5%的显著性水平下，迹统计量的值小于临界值，接受没有协整方程的假设，恒生指数和恒生指数买权之间没有长期的协整关系存在。

（2）恒生指数与恒生指数卖权的Johansen协整检验结果。恒生指数具有明显的波动性，不能看作有时间趋势，选择没有时间趋势项但有截距的方程。表3是恒生指数与恒生指数卖权的Johansen协整检验及其结果。

表3：恒生指数与恒生指数买权的Johansen检验结果

假设的协整性方程个数 特征值 迹统计量 临界值（5%）

没有 0.254022 39.65528 15.49471

最多一个 0.08113 8.884104 3.841466

由表3可以看出，在5%的显著性水平下，迹统计量的值大于临界值，不能接受没有协整方程的假设，恒生指数和恒生指数卖权之间存在长期的协整关系。

根据其标准化协整系数，得出vecm=LNI-0.9109

LNIP。对序列vecm进行单位根检验，发现已经是平稳序列，验证了恒生指数与恒生指数卖权之间的协整关系是正确的，结果见表4。

表4：序列vecm的单位根检验结果

变量 ADF 临界值（1%） 临界值（5%） 结论

vecm -3.855259 -3.494378 -2.889474 平稳

4. Granger因果关系检验及结果分析。由恒生指数与恒生指数买权的Johansen协整检验及其结果，在5%的显著性水平下，迹统计量的值小于临界值，接受没有协整方程的假设，恒生指数和恒生指数买权之间没有长期的协整关系存在。因此，对恒生指数和恒生指数买权进行格兰杰因果关系检验，结果见表5。由表5可以看出，在5%的显著性水平下，LNI对LNIC具有Granger引导关系，而LNIC对LNI不具有引导关系。

表5：恒生指数和恒生指数买权的格兰杰因果关系检验

零假设 样本量 F统计值 概率

LNIC does not Granger Cause LNI 245 1.58994 0.1777

LNI does not Granger Cause LNIC 245 2.4167 0.04946

5. 脉冲响应分析。图3和图4分别表示恒生指数与恒生指数买权、恒生指数卖权的脉冲响应图。其中横坐标表示滞后期间数（单位：天），纵坐标表示脉冲响应值（单位：增长率）。实线代表脉冲响应值，虚线表示正负两倍标准差偏离带。

图3：恒生指数和恒生指数买权的脉冲响应

图4：恒生指数和恒生指数卖权的脉冲响应

图3描述了恒生指数与恒生指数买权的脉冲响应情况，根据恒生指数对恒生指数买权的响应情况可知，给恒生指数一个冲击后，恒生指数在接下来的两期内下降，第2期达到最低点，又缓慢上升到比冲击前略微低的位置，之后基本保持平稳。即恒生指数对恒生指数买权的响应微弱。从恒生指数买权对恒生指数的脉冲响应图看，给恒生指数买权一个冲击，恒生指数买权在接下来两期内下降很快，第2期之后，下降速度稍微缓慢，但仍在持续下降，说明恒生指数对恒生指数买权有比较强的持续影响。

图4描述了恒生指数与恒生指数卖权的脉冲响应情况，根据恒生指数对恒生指数卖权的响应情况可知，给恒生指数一个冲击后，恒生指数卖权变化非常缓慢，即恒生指数卖权对恒生指数的响应微弱。从恒生指数卖权对恒生指数的脉冲响应图看，给恒生指数卖权一个冲击，恒生指数卖权持续较快地上升，说明恒生指数对恒生指数卖权有比较强的持续影响。

（二）恒生指数买权价格偏差的研究

布莱克（Black）等人之所以认为基础资产和债券可以完美复制期权，就在于他们假定基础资产价格波动服从对数正态分布。本部分首先以恒生指数为例检验对数正态分布模型的正确性。因为如果对数正态分布模型不成立，则完美复制期权也就不成立，也就是说，人们只能利用基础资产和债券模拟期权，却不可能通过复制策略获得真实的期权，在这种情况下，期权显然不是一种多余的资产。

图5是2008年3月3日到2009年3月9日之间恒生指数日收益率的序列图，图中横坐标表示某天，纵坐标表示每日收益率。

图5：恒生指数日收益率的波动情况

图6为2008年3月3日到2009年3月9日之间恒生指数连续复利收益率的统计描述和Jarque-Bera检验。该检验的零假设是样本服从正态分布（S=0，K=3）。P值为0，说明可以拒绝零假设，即恒生指数连续复利收益率序列不服从正态分布。恒生指数连续复利收益率序列的偏度为0.318，峰度为6.735，说明有“尖峰厚尾”的特征。

图6：恒生指数连续复利收益率统计描述

后来的研究表明，实际的期权价格和用Black-Scholes期权定价公式计算的价格存在一定的偏差，本部分我们研究除了股价波动呈对数正态分布的假设引起期权价格偏差之外，还是否存在其他因素诸如期权价值状况、期权合约的交易量、期权合约的到期日、隐含波动率等因素引起期权价格偏差。考虑数据的可得性及影响期权价格的因素，我们把期权合约的到期时间、价值状况、交易量、隐含波动率作为解释变量，价格偏差作为被解释变量，利用下列多元线性回归模型：

其中， 表示价格偏差（利用B-S公式计算出的理论值和实际值的差值）； 表示期权的价值状况； 表示期权合约的到期时间； 表示期权合约的交易量； 表示期权实际价格隐含的波动率。

为了更详细地描述不同种类的期权价格偏差的影响因素，本文根据鲁迪格和帕特里克（Rudiger和Patrik，2008）的研究，将买权价值状况的决定原则定为：如果执行价格和标的资产的价格比率（X/S）小于0.97，此卖权为价外期权；如果此比率介于0.97到1.03之间，为平价期权；如果此比率大于1.03，为价内期权。同样对于卖权，如果标的资产与执行价格的比率（S/X）小于0.97，此卖权为价外期权；如果此比率介于0.97到1.03之间，为平价期权；如果此比率大于1.03，为价内期权。本文还考虑了期权合约流动性对偏差的影响。对流动性的直接测定是困难的，其中一个指标就是交易量。交易量可能是一个与定价效率正相关的指标。它比较直观地衡量了市场交易活跃的程度。由于数据所限，本部分仅对恒生指数买权进行定价偏差的研究。回归结果见表6。

表6：恒生指数买权价格偏差影响因素回归结果

变量 系数 标准差 t值 p值

常数项 0.271185 0.01222 22.1925 0

Imt -0.123861 0.008067 -15.35307 0

TMt 0.197037 0.005067 38.88455 0

TVt -1.14E-11 2.96E-12 -3.862616 0.0001

Ivt -0.432278 0.01401 -30.8552 0

F统计值 2111.743

P（F-统计值） 0

R2 0.971925

可调整的R2 0.971465

由表6的回归结果可以看出，当显著性水平为5%时，t值在绝对值上超过2，说明各解释变量对被解释变量有显著的影响；另外，从P值也可以看出，各解释变量对被解释变量的影响很显著。整个模型的判定系数R2接近1，说明整体模型与样本观测值的拟合程度很高。买权价值状况前的系数为-0.123861，系数显著，说明看涨期权向价内期权变化时，价格偏差变小；买权到期日前的系数为0.197037，系数显著，暗示着随着到期日的临近，价格偏差减少，意味着期权实际值大于理论值；交易量前的系数显著但很小，说明交易量有很大的变化才会引起期权价格偏差的改变；买权隐含波动率前的系数为-0.432278，系数显著，说明当隐含波动率增加时，价格偏差减少，实际值更接近理论值。

四、结论

本文基于恒生指数看涨期权、恒生指数看跌期权的日数据，应用向量自回归模型、格兰杰因果检验、脉冲响应分析及Johansen协整检验实证研究了恒生指数和指数期权市场间的价格关系，并且利用多元线性回归模型检验了此期间内恒生指数看涨期权价格偏差的影响因素，得出如下结论：

第一，VAR模型和Johansen协整检验结果表明，恒生指数和恒生指数看涨期权、恒生指数看跌期权在短期内都存在较强的相关关系；长期内只有恒生指数和恒生指数卖权之间存在协整关系。主要原因可能是本轮全球金融危机爆发以来，香港恒生指数已从近30000点跌至11000—12000点，投资者卖空交易的时机来到。在香港金融市场中，投资者除了可以选择借货卖空，还可以通过衍生金融产品（主要包括恒生指数期货及期权、H股指数期货及期权、小型恒生指数期货及期权、股票期货及期权、股票衍生权证等）进行卖空交易。这种情况下，恒生指数看跌期权合约交易量增加，和市场的相关性更加密切。

第二，Granger因果关系分析显示，恒生指数对恒生指数看涨期权具有引导关系，反之不然。脉冲响应分析表明，恒生指数看涨、看跌期权对恒生指数的脉冲响应明显，而恒生指数对恒生指数看涨、看跌期权的脉冲响应不明显。可以看出，尽管香港恒生指数期货、恒生指数期权交易比较活跃，但相对庞大的香港股票市场而言，其影响力度还不够大，相比较而言，恒生指数期权受标的资产市场的影响较大。

第三，对恒生指数看涨期权的价格偏差的研究结果表明，引起看涨期权价格偏差的主要原因有期权价值状况、到期日、隐含波动率、交易量等因素。

本文通过经验研究，验证了恒生指数分别和恒生指数看涨期权、恒生指数看跌期权之间存在相互关联的关系，并且得出引起看涨期权价格偏差的主要原因有期权价值状况、到期日、隐含波动率、交易量等因素。建议我国在推出沪深300指数期货后，择机推出相应指数的指数期权，为我国股指衍生品市场的完善提供理论和实证上的支持。

参考文献：

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（责任编辑 耿 欣；校对 GX）