一道中考数学试题的演变过程带给我们的点滴思考

金颖 段丹华

在研究大量的中考数学试题的过程中，让我真正的感受到深入研究一道题对老师、对学生的价值. 下面仅就２０08年泰州市中考数学试题第２５题的研究过程，看一道题的发生和发展，也许会给大家一点启示和借鉴.

１． 试题呈现

２００８年５月１２日１４时２８分四川汶川发生里氏８．０级强烈地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点４８０千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组晚出发１．２５小时（从甲组出发时开始计时）．图1中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程ｙ甲（千米）、ｙ乙（千米）与时间ｘ（小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题：

（１）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；

（２）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问：甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？

（３）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过２５千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．

试题分析

此题是２００８年泰州的中考试题，主要是利用图像提供的信息解决行程问题. 行程问题反映的是路程、时间和速度的关系问题. 它具有一定的典型性、示范性和迁移性，有较高的应用价值. 类比上述问题我们可以将其改编成研究工作量、工作时间和工作效率的问题. 所以将上述问题改编成如下试题.

２． 试题变式１

甲、乙两个小组进行工作，他们的总工作量是４８０件，甲组人员到齐就开工，乙组人员到齐比甲组晚１．２５小时开始工作，图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的工作量ｙ甲、ｙ乙与时间ｘ（小时）之间的函数图像如图2所示．请根据图像所提供的信息，解决下列问题：

（１）解释ＡＢ线段的实际意义 ．

（２）求甲组和乙组完成相同工作量时的时间．

（３）甲、乙两组在第一次完成相同工作量时约定，以后两组工作量之差不超过２５件，这样才能保证同时送货，请通过计算说明，按图像所表示的完成工作是否符合规定．

变式１分析

变式１是在２００８年泰州的中考试题的基础上，没有改变图像，只是将内容的呈现形式做了相应的调整，但其主体的数量关系并没有改变，让学生能进一步体会、理解此图像提供的信息，学会从繁杂的题目中抓住其要考查的数学本质，将其真正的内化理解并达到举一反三的目的. 进一步把图像进行适当改变再赋予新的问题情境提出相应的问题，又设计了以下内容．

３． 试题变式２

甲、乙两组同时加工一批零件，乙组工作中有一次停产检修，两组各自剩余工作量ｙ（件）与时间ｘ（时）的函数图像如图3所示，从开始工作时计时.

（1）直接写出甲、乙两组各自的工作量.

（2）求甲组剩余工作量ｙ与ｘ的函数关系式.

（3）求甲、乙两组剩余工作量相同时的ｘ值.

（4）工作３小时后，当甲组剩余工作量比乙组剩余工作量多２０件时，甲组想通过提高工作效率，保证与乙组同时完成工作，甲组每小时要比原来多生产多少件？

变式２分析

变式２是将变式１的图像进行了１８０°的旋转后适当调整，赋予新的意义后提出相应的问题，这样设计本题的难度大大提高，学生在解决问题时思维层面上要出现跳跃，虽然题目很好但却难以达到考查学生的目的．因此把题目３的图像又进行了调整，旋转１８０°后得到变式３．

４． 试题变式３

甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的２倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图像如图4所示．

（１）求甲组加工零件的数量ｙ与时间x之间的函数关系式．

（２）求乙组加工零件总量a的值．

（３）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够３００件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求：经过多长时间恰好装满第一箱？再经过多长时间恰好装满第二箱？

变式３分析

变式３是长春市２０１１年中考试题. 这道题的情境符合生活实际，问题的表述更加科学规范，最后一问涉及分类讨论，具有一定的区分度. 从这道中考试题的演变过程，让我们看到了数学的魅力，不仅能帮我们解决生活中的问题，还会让我们思维更加缜密，视角更加开阔.

学数学离不开做题，怎样做题却是值得每位一线教师深思的. 我们不应该仅仅停留在解题层面，而更应该研究它，要知道它是从哪里来要到哪里去，并挖掘出它的本质是什么，找到其考查的数学思想方法. 数学思想方法是解决数学问题的灵魂，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能的关键. 在解数学综合题时，尤其需要用数学思想方法来统帅，去探求解题思路，优化解题过程，验证所得结论，这就要求教师在平时教学时要加强数学方法、解题技巧、数学思想方面的训练，使学生形成数学能力，在落实基础知识的前提下，能更加灵活地驾驭中考试题.