运用一元二次方程根的分布对一个数学问题的求解进行探究

王观忠

运用一元二次方程根的分布对数学问题进行求解，是中学数学非常重要的一个知识点，如何运用一元二次方程根的分布对数学问题求解，也是让不少同学感到十分棘手的问题. 下面我就谈谈运用一元二次方程根的分布对一个数学问题进行求解的具体方法.

题目 （１）已知抛物线Ｃ１ ∶ ｙ２ ＝ ａｘ（ａ ≠ ０）与圆Ｃ２ ∶ （ｘ － ２）２ ＋ ｙ２ ＝ １． 当a为何值时，C1与C2（１）有两个不同的公共点？

（２）有四个不同的公共点？（３）没有公共点？

分析 显然两曲线的交点问题可归结到方程组

y2 = ax，（ｘ － ２）２ ＋ ｙ２ ＝ １ 的求解问题.

探究１ 将方程组消去ｙ，得

ｘ２ ＋ （ａ － ４）ｘ ＋ ３ ＝ 0.①

（１）结合图1，易知两曲线有两个不同的公共点等价于方程①在区间（１，２）内有两个相等的实数根，于是有

Δ = 0，1 < - < 2?圯a = 4 ± 2，0 < a < 2?圯 a = 4 - 2.

∴两曲线有两个不同的公共点时，a的取值范围为

M ＝ ｛ａ｜ａ ＝ ４ － ２｝.

（２）结合图2，易知两曲线有四个不同的公共点等价于方程①在区间（１，３）内有两个不相等的实数根，

记ｆ（ｘ） = x2 + （a- 4）x + 3，则

Δ > 0，ｆ（１） > 0，ｆ（３） > 0，1 < - < 3?圯a > 4 + 2或a < 4 - 2，a > 0，-2 < a < 2，

解得0 < a < 4- 2.

∴两曲线有四个不同的公共点时，ａ的取值范围为

Ｎ ＝ ｛ａ｜０ ＜ ａ ＜ ４ － ２｝.

（３）两曲线无公共点等价于方程①在区间（１，３）内没有实数根．记Ｕ ＝ （－∞，０）∪（０，＋∞），则两曲线没有公共点时，ａ的取值范围为Ｕ（Ｍ∪Ｎ）＝｛ａ｜ａ ＜ ０或ａ ＞ ４ － ２｝.

探究２ 将方程组消去ｘ，得ｙ４ ＋ （ａ２ － ４ａ）ｙ２ ＋ ３ａ２ ＝ ０.②

记ｙ２ ＝ ｔ（ｔ ≥ ０），则方程化为

t2 + （ａ２ － ４ａ）ｔ ＋ ３ａ２ ＝ ０.③

（１）结合图1，易知两曲线有两个不同的公共点等价于方程②在区间（－１，１）内有两个互为相反数的非零实数根，即等价于方程③在区间（０，１）内有两个相等的正实数根，则

Δ = 0，0 < - < 1 ?圯 a = 4 - 2.

∴两曲线有两个不同的公共点时，ａ的取值范围为

Ｅ ＝ ｛ａ｜ａ ＝ ４ － ２｝.

（２）结合图2，易知两曲线有四个不同的公共点等价于方程②在区间［－１，１］内有两组互为相反数的非零实数根，即方程③在区间（０，１〕内有两个不相等的正根.

记ｇ（ｔ） ＝ ｔ２ ＋ （ａ２ － ４ａ）ｔ ＋ ３ａ２．

并注意到ｇ（０） ＝ ３ａ２ ＞ ０，ｇ（１） ＝ （２ａ － １）２ ≥ ０．

于是有

Δ > 0，0 < - ≤ 1 ?圯 a < 4 - 2或a > 4 + 2,0 < a < 2 -或2 + < a < 4?圯

0 < a < 4 - 2.

∴两曲线有四个不同的公共点时，a的取值范围为

F ＝ ｛ａ｜０ ＜ ａ ＜ ４ － ２｝.

（３）两曲线无公共点等价于方程②在区间［－１，１］上没有实数根，即方程③在区间［０，１］上没有实数根． 则两曲线没有公共点a时的取值集合为

U（E∪F） = ｛a|a < 0或a > 4 - 2｝．

评析 该题目探究２的解法难度要比探究１的解法难度大，显然不是简便解法，但探究２引出了一个新问题，即对方程组消元后导出的方程为高次方程（双二次方程），通过换元转化成一元二次方程，再运用一元二次方程与二次函数图像间的关系进行求解.通过探究１和探究２的解题过程，加深了学生对一元二次方程实根的分布和二次函数图像之间关系的理解，提高了学生分析问题和解决问题的能力， 同时也逐步培养了学生探究式的学习能力，形成从模仿型转向研究型的学习理念.