解题过程中巧用“提取公因式法”

李秀菊

对于初中生来说，多数人仅把因式分解当作独立的一部分内容，要求分解因式时，才会想到提公因式，否则很难想到还有其他用途．实际上在大量的代数计算中，特别是解方程（组）和勾股定理的应用过程中，如果能熟练地应用提公因式法，会减少繁琐的竖式计算，使运算变得简单明了，进而通过口算即可得出结果，既省功又省时，并且能够明显地提高计算的准确性．平时教学中有意识地进行这方面的训练，能增强学生对学以致用的认识，尤其对目前计算器不能进考场更是一种挑战．

例１ 有一个边长为５０ 分米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）

解 一般解法：

由题意知，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，

AC ==≈ 71.

则圆的直径至少７１分米. 此时，学生只能用计算器计算．

提公因式法：AC ===

50 ≈ 50 × 1.414 ≈ 71.

这里 ≈ 1.414学生是熟悉的．

练习巩固：

Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠C为直角，

（１）ＡＣ ＝ １２，ＢＣ ＝ ８，求ＡＢ；

（２）ＡＣ ＝ １６，ＢＣ ＝ ，求ＡＢ.

解 提公因式法：

（１）ＡＢ ＝== 4.

（２）ＡＢ ＝== .

提公因式法使得二次根式运算中不求近似值，只需化成最简根式的题目尤为简便．

运用提公因式法计算需要注意的是：

（１）对于数值计算，先不要急于求出数的乘积；

（２）对于较大的整数应分解质因数．

例2 不解方程，判别方程１６y2 ＋ ９ ＝ ２４ｙ根的情况，求判断式的方法.

解 一般解法：Δ ＝ （24）2 － ４ × １６ × ９ ＝ ５７６ － ５７６ ＝ ０．

提公因式法：Δ ＝ （２４）2 － ４ × １６ × ９＝ ２４（２４ － ２４） ＝ ０.

比较两种方法，后者口算即可．

例3 解方程： ３０ × １６％ ＝ （３０ ＋ ｘ） × ０．１５％.

解 提公因式法：３０ × １６ ＝ （３０ ＋ ｘ） × ０．１５，

０．１５ｘ ＝ ３０ × １６ － ３０ × ０．１５，

０．１５ｘ ＝ ３０ × （１６ － ０．１５），

０．１５ｘ ＝ 3０ × １５．８５，

ｘ ＝３７１０.

例４ 解方程： += 5.

解 提公因式法：１９ｘ ＋ ２１ × １０１ － ２１ｘ ＝５ × ２１ × １９，

２ｘ ＝２１ × １０１ － ５ × ２１ × １９，

２ｘ ＝２１（１０１ － ９５），

x ＝６３.

例５ 求方程x2 ＋ １２ｘ － ８６４ ＝ ０的判别式的值.

解 提公因式法：Δ ＝ １２２ － ４ × （－８６４）

＝ 122（１ ＋ ２４）

＝ 122 × 52

＝ 602.

也可以尝试逐步提取：

Δ ＝ 122 － ４ × （－８６４）

＝ １２ × （１２ ＋ ２８８）

＝ １２ × １２（１ ＋ ２４）

＝ 122 × 52

＝ 602.

例６ 解方程组：２（ｘ － １５０） ＝ ５（３ｙ ＋ ５０），１０％ｘ ＋ ６％ｙ ＝ ８５％ × ８００.

解 提公因式法：２ｘ － １５y ＝ 550，5x + 3y = 85 × 40.

２７ｘ ＝ ５５０ ＋ ８５ × ４０ × ５，（分解质因数）

２７ｘ ＝ ５０（１１ ＋ ３４０），（提公因式）

２７ｘ ＝ ５０ × ３５１，

ｘ ＝ ５０ × １３，

ｘ ＝ ６５０.

代入求ｙ，

１５ｙ ＝ ６５０ × ２ － ５５０，

１５ｙ ＝ ５０（２６ － １１），（提公因式）

１５ｙ ＝ ５０ × １５，

ｙ ＝ ５０，

ｘ ＝ 650，y = 50.

总之，“提公因式法”这一解题技巧在计算过程中随处可用，学生若能熟练掌握，准确应用，可明显提高解题效率．