探析初中几何问题的解题方法及要领

吴蕾

随着教育与课程的不断改革，初中数学中的几何教学课程也发生了很大变化. 新课程将初中几何内容大致分为了图形认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明四大模板. 从研究方式上，也可将其分为实验几何与论证几何. 《数学课程标准》中指出，在几何问题的教学中，应帮助学生建立空间观念，培养学生的几何逻辑推理能力. 那么如何更好的落实新课程目标，培养学生的逻辑推理能力呢？笔者结合实践经验，对于论证几何教学进行了深入的思考，总结了一些论证几何教学的基本策略.

一、将文字语言转化为符号语言

几何教学中存在着不同形式的语言，大致有图形语言、文字语言和符号语言三种. 教师在教学过程中，首先要让学生理解掌握这三种不同的语言，继而还需培养学生将这三种语言相互间进行转化的能力. 不同语言在几何内容的学习中发挥着不同的作用. 图形语言一般较为直观，能够形象地向学生展示问题；而文字语言则是概括和抽象的，重点是对于图形或图形本身中蕴含的深层关系予以准确的描述，对几何的定义、定理、题目等予以精确的表述；符号语言则是对于语言文字的再次抽象，它具有简化作用，有更深的抽象性，也是最难掌握的一种，是逻辑推理必备的能力基础所在. 初中阶段的学习需要循序渐进，由简单推理再到符号表示进行推理. 教师在教学过程中应有意识地引导学生将文字语言转化为符号语言，培养学生将文字语言转化为特定符号的意识，训练学生转化的能力，从而为论证几何的学习打下良好的基础. 二、将题目所含条件转化为图形

几何题目中，用各种不同符号把已知条件通过图形直观的表达出来，对于处理较复杂的几何问题有很大的帮助. 学生中普遍存在“看图忘条件”的现象，无法将题目与图形有机结合起来，教师需要培养学生画图的意识，这样方便将题目中的条件直观清晰地呈现出来，实现条件与图形的有机融合，帮助学生理清做题思路.

例1 已知点Ｅ，Ｆ在ＢＣ上，ＢＥ ＝ ＣＦ，ＡＢ ＝ ＤＣ，∠Ｂ ＝ ∠Ｃ. 求证：∠Ａ ＝ ∠Ｄ.

分析 如图1，将已知条件通过画图展现出来，这样可以将已知条件在图形中得以直观的表现，对于学生也是一种暗示和提醒，利于问题的有效解答.

三、培养综合解决问题的能力

综合化解决问题，即指导学生在分析问题时从已知条件出发，从结论入手，结合图形进行解答. 综合分析法是几何题目解题中通常会用到的逻辑思维方法. 其特点在于从已知推可知，逐步再推出未知，从未知看需知，逐步靠近已知. 在较为复杂的问题当中，需要良好地运用综合分析法，从已知出发，从结论入手，形成完整的体系，寻求最后解决问题的接洽点所在，进而达到解决问题的目的.

例２ 如图2，分别以△ＡＢＣ的边ＡＢ，ＡＣ为直角边向△ＡＢＣ外部作等腰直角三角形ＢＤＡ和等腰直角三角形ＣＥＡ，点Ｐ，Ｍ，Ｎ分别为ＢＣ，ＢＤ，ＥＣ的中点. 求证：ＰＭ ＝ ＰＮ.

分析 若从已知条件出发，“△ＢＤＡ和△ＣＥＡ是等腰直角三角形”，即可轻易的推出结论，ＡＢ ＝ ＡＤ，ＡＣ ＝ ＡＥ，再根据做题思路，即可得出△ＡＤＣ ≌ △ＡＢＥ，从而可以得到△ＡＤＣ和△ＡＢＥ的对应边相等、对应角相等. 若从结论“ＰＭ ＝ ＰＮ”入手，从未知看需知. 则思路可以如下：已知ＰＭ和ＰＮ分别是△ＢＤＣ和△ＣＢＥ的中位线，所以只需证ＣＤ ＝ ＢＥ. 从已知条件出发我们可以得到ＣＤ ＝ ＢＥ，从结论入手我们需要ＣＤ ＝ ＢＥ，这样相当于我们找到了题目的接洽点所在，问题也就迎刃而解了.

综合分析法不仅帮助学生高效率地解答几何题目，从而帮助学生掌握基本的数学思维，利于学生综合思维能力的培养，提高学生解决问题的能力和水平.

四、灵活进行图形变换

新课程中的初中数学增添了图形变换的内容，如平移、旋转、轴对称等. 灵活进行图形变换即是将图形变换作为一种解题思路方法，通过图形变换为学生解决几何问题打开一扇窗.

例３ 如图3，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ边上移动，∠ＥＡＦ ＝ ４５°，ＡＦ交ＣＤ于Ｆ，连接ＥＦ. 求证：ＥＦ ＝ ＢＥ ＋ ＤＦ.

分析 这道题目需要增添辅助线来助于解答，因此对于大部分学生来说是比较难的. 增添辅助线是几何教学中的重要内容，该题中要证ＥＦ ＝ ＢＥ ＋ ＤＦ，就需要将分散的线段ＢＥ，ＤＦ集中起来，若运用旋转变换法，将△ＡＤＦ绕点Ａ顺时针旋转９０°，如图4，即可将ＢＥ和ＤＦ转到同一直线上，得到线段ＢＥ与ＤＦ的和，继而可将三条线段ＥＦ，ＢＥ，ＤＦ构造到一对全等三角形中. 这样就轻易地得到了辅助线法证明思路：延长ＣＢ到Ｍ，使ＢＭ ＝ ＤＦ，连接ＡＭ，如图5，得到ＭＥ ＝ ＢＥ ＋ ＤＦ，这时只需要证明△ＡＥＭ ≌ △ＡＥＦ就可解决问题了.

教师在几何教学中，需要有意识地教导学生图形变换的方法，让学生掌握好平移、旋转和轴对称等相关知识，并能够运用这些知识探索解题思路、发现解题方法. 同时，这样利于学生的空间想象力的培养.

以上是笔者关于论证几何问题中提出的一些做题思路和方法. 总而言之，论证几何教学是几何教学内容的核心，是重点也是难点，需要对其进行研究和思考，发掘有效的教学策略，提高论证几何教学的效率，重视培养学生的逻辑思维能力和综合思考能力.