例谈数学解题的反思

徐月季

解题反思是一种对解题活动的“再认识”，属于解题活动的“元认知”.它是对解题活动的深层次再思考.它不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或重复，而且更是探究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有探究性、批判性、自主性。

著名数学家波利亚在《怎样解题》中将数学解题划分为4个阶段：弄清问题—拟定计划—实现计划—回顾这个过程中的“回顾”就是解题反思，是对整个解题活动的深层次思考，是再发现、再创造的过程。

美籍匈牙利数学家乔治•波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”，“你能否用别的方法导出这个结果？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？”由此可见，解题过程中的反思不仅能巩固所学知识，而且能提高学生总结、归纳、概括、综合问题的意识和能力。因此数学教师平时应注重自己的解题反思。本文将结合具体案例浅谈教师的解题反思。

反思属元认知范畴，反思能力属元认知能力．从思维的角度看，它主要反映思维的批判性品质．一般认为，思维的深刻性品质是一切思维品质的基础，数学思维水平的差异主要地体现在思维深刻性品质的差异上．因此，发展数学能力，提高数学素养主要地就是要发展数学思维的深刻性品质．

案例一：已知实数a，b满足a2+ab+b2=1，且t=ab-a2-b2，则t的取值范围是______

解1：由a2+ab+b2=1，ab-a2-b2=t，得ab=

又(a+b)2=a2+ab+b2+ab=1+ab=≥0，

∴t≥-3，且a+b=?

于是，a，b是关于x的方程x2眡+=0的两个实数根．

∴ =-2(t+1)=-t-≥0即t≤-

综上，t的取值范围是-3≤t≤-。

反思：这一解法沿用了“据韦达定理构造方程”的解题模式．该模式的一般程序是：据条件a，b∈R.构造以a，b为根的一元二次方程x2-p（t）x+q（t）=0．则其判别式D=p2（t）-4q（t）≥0．据此即可求解。

事实上，由于p2（t）-4q（t）=（a+b)2-4ab=（a-b)2≥0。这即表明，构造方程并非实质步骤，甚至有掩盖实质的嫌疑。

基于这样的认识，我们可以用下面的方法来解答例1：

解2：由，得

再由（a眀)2=a2+b2?ab≥0（或2|ab|≤a2+b2)，

得

解得t的取值范围是-3≤t≤-。

两相对比，易见“解2”更自然，更简洁，也更实质．这里，“反思”让我们不但简化了解法，而且领悟了“经典模式”的实质。

我们认为，数学思维的深刻性品质不但与个体的数学知识、数学经验（包括数学活动经验及创造性数学活动经验）及数学直觉等密切相关，而且与思维的批判性品质密切相关．特别是，对于确定的个体，其数学知识、经验、直觉等在确定的时刻是相对稳定的，此时，思维的批判性品质往往起着决定性的作用！

案例二：设二次方程anx2-an+1x+1=0.(n∈N*）有两根 和 ，且满足6 -2+6 =3

（1）试用an表示an+1；

（2）求证：数列{an-}是等比数列

解：（1）根据韦达定理，得 + =，=，由6 -2+6 =3

得：6-=3，故an+1=an+

（2）===

故{an-}为等比数列

反思：在递推公式的背景下求数列的通项，实际上是将非等差、非等比的数列转化为等差等比数列求解。而本题中，属于an+1=pan+q(p≠1或q≠0）模型。即构造数列为等比数列{an+c}为等比数列。

an+1+c=p(an+c)，∴an+1=pan+pc-c，即pc-c=q，∴c=。进一步明确这模型为an+1=pan+pn，可化为=+，即数列{}为等差数列。

将此模型进一步推广到an+1=pan+qn，可化为=+，再转化为+c=(+c)，即数列{+c}为等比数列。

解题反思，有助于教师能对题目进行本质的理解，只有通过对本质的理解，才能更好地将知识传授给学生。只有这样，才能提高教师的课堂掌控能力。解题反思，让我们清楚，教师不是仅仅是在解题，而是应该花更多的时间在反思上，反思一题多解，反思多种解法中的最优解，反思一题多变，反思如何从一个问题的解决到一类问题的解决，本例就是从一个问题的解决推广到一类问题解决的典型案例。

教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。只有在教师在教学过程中不断反思，才能提高个人教学能力和业务水平，才可以使学生在知识的发生和发展中领会数学的真谛，让学生从有意义的数学活动中，激发其好奇心，让学生获得发展。这正是当今数学教学努力追求的较高境界，这也是我们数学教师的最终目标。

（责任编辑 若曦）