数学课堂教学中常用的解题策略

陈志远

美国数学家哈尔莫斯认为：问题是数学的心脏。波利亚也有一句名言：“掌握数学就意味着善于解题.”他强调指出：“中学数学教学首要任务就是加强解题训练.”在掌握数学方法基础上进行解题训练，形成解题技能，将解题技能、方法，乃至于经验在理性层面上进行概括，便形成解题策略。解题策略一旦形成，就可对新情境下的数学问题的解题途径作出总体性的、方向性的决策，从而有利于解题顺利进行。

一、问题的构建

数学的真正部分是问题和问题的解决，数学教学的核心就是培养学生解决数学问题的能力。在课堂教学中如何营造问题氛围，引导学生进入教学活动，一起参与对问题的分析、探究解题方法及其本质等。直接关系到学生是否能充分发挥自己的创新思维能力和方式.

什么是“好问题”？“好问题”应具有张奠宙教授在《数学素质教育设计（草案）》中所提出的五个标准：

①对学生来说不是常规的，不能靠简单的模仿来解决；

②可以是一种情景，其中隐含的数学问题要靠学生自己去提出、求解并作出解释；

③具有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；

④不一定有终极答案，各种不同水平的学生都可以由浅入深地作出回答；

⑤解决它往往需伴以个人或小组的数学活动.

但好问题不一定就是一个相当复杂的问题，它甚至可以是一个很简单的、生活实践中十分常见和答案显而易见的问题，只要它透露着必要的数学思想和有一定的启发.

二、常见的策略简述

（一）定义法

概念与其定义是对研究对象本质属性的描述和界定，因而是数学推理论证的逻辑基础，对于某些数学问题，如果从所涉及的数学概念的原始定义去考虑，往往能获得题设信息所固有的本质属性，减少不必要的中间环节，达到准确判断、合理运用、灵活解题的目的，在中学教材及高考试题中有着广泛的应用.

例1 设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1,x∈R，求f（x）的最小值.

分析 因为函数解析式中含有绝对值，利用绝对值的定义去掉绝对值符号，可将问题转化为熟悉的二次函数在给定区间上求最小值的问题.

解：（1）x≥a时，f（x）=x2+x-a+1=（x+）2-a+

若a≤-，则f（x）在[a,+∞）上的最小值为f（-）=-a；若a>-，则f（x）在[a,+∞）上单调递增，f（x）的最小值为f（a）=a2+1.

（2）x≤时，f（x）=x2-x+a+1=（x-）2++a

若a≤，则f（x）在（-∞,a]上的最小值为f（a）=a2+1；若a>，则f（x）在（-∞,a]上的最小值为f（）=+a.

综上，a≤-时，f（x）的最小值为-a；

a>时，f（x）的最小值为+a.

（二）特殊化与一般化

特殊化与一般化是相辅相成的辩证思维过程.

所谓特殊化，就是缩小研究对象的原有范围或增加约束条件的思维方法，表现为一种“以退求进”的解题策略。在解决一个较为抽象复杂的数学问题时，可以先考虑简单情形，特殊对象或极端情况，以寻找解决一般性问题的方向与途径。华罗庚先生说过：“解题时要足够地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，认透了，钻深了，然后再上去”.总之，特殊化是从具体到抽象、从局部到整体的思维过程，可以提示解题方向，突现问题的切入点.

所谓一般化，就是把研究对象或问题从原有范围扩展到更大范围内进行考虑的思维方法，表现为一种“以进求退”的解题策略。当解决的问题是某个问题的特例，而这个一般性命题比较容易解决，甚至已有明确的结论时，我们可以利用整体来揭示局部，更为明确地表达问题的本质.

例2 设a1、a2、a3、a4、a5都是大于1的实数，证明：

16（a1a2a3a4a5+1）>（1+a1）（1+a2）（1+a3）（1+a4）（1+a5）

分析：改证一般性命题：若a1、a2、a3、a4、a5都大于1，则n>2时，

2n-1（a1a2a3…an+1）>（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an），n=5时即为原命题.

证明：①n=2时，易证2（a1a2+1）>（1+a1）（1+a2）；

②设n≤k时命题成立，则n=k+1时，

2k（a1a2…akak+1+1）=2k-1[a1a2…（akak+1）+1]>2 （1+a1）（1+a2）…（1+ak-1）（1+akak+1）>（1+a1）（1+a2）…（1+ak-1）（1+ak）（1+ak+1）

即n=k+1时一般性命题成立；

综上，一般性命题成立，从而n=5时命题成立

所以，当a1、a2、a3、a4、a5大于1，则

16（a1a2a3a4a5+1）>（1+a1）（1+a2）（1+a3）（1+a4）（1+a5）

（三）利用对称性

在数学解题过程中，利用对称思想解题，一方面是利用题设中已有的对称性，另一方面，还要善于利用题设条件创造对称性。有了对称性，就能使我们发现解题途径，缩短解题过程，使复杂的问题得到较为方便的解法。高斯求和法就是利用对称思想解题最典型的例子.

例3 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同排法共有多少种？

分析：本题若分类讨论，较为繁琐，换一个角度考虑问题，注意到有一个B站在A的右边的排法，交换A、B的位置，就得到一个B站在A的左边的排法；因此，在五人的全排列中，B站在A的右边的排法与B站在A的左边的排法数相等，依对称性原则，所求排列数为A55=60.

例4 求（2+）2n+1展开式中x的整数次幂项系数之和；

分析 直接展开计算显然不是最理想的方式，依据二项式定理的系数的性质及共轭根式的对称性，增设（2-）2n+1，配成完整式f（x）=（2+）2n+1+（2-）2n+1.

易见f（x）展开式中的非整数次幂项系数之和为0，x的整数次幂项系数之和为所求（2+）2n+1展开式中x的整数次幂项系数之和的2倍.故所求为f（x）=（32n+1+1）.

除了上述的三种策略之外，其他的策略还有利用图形、正难则反（反证法）、函数思想等等.

三、几点反思

解题策略的传授与发现是新课程数学教学中非常重要的一环，关键在于教师在课堂教学中给学生主动探究、自主学习的空间。因为学生数学能力的提高，不是通过教师讲解或完全靠课本上的间接经验达成的，而更多的是通过自己的探究和体验得来的，在探究和自主学习中，他们能够形成多方面的能力和技能.

另一方面，教师应当营造合作式学习环境，并鼓励学生大胆用顿悟知觉去寻找问题解决的策略，鼓励学生在进行独立探究和小组讨论中积极参与对解题策略的评论和发现，鼓励学生自主创作，敢说，敢想，敢动手操作，敢问，敢讨论，鼓励学生寻求多向、多维的交往形式，增加师生、生生之间的多维有效互动.

最后，激发学生多方面的思维和寻求民主和谐的课堂教学气氛。我觉得民主和谐的课堂教学气氛是良好课堂秩序的重要组成部分，也是学生积极参与解题策略探究和实现的重要保证。教育过程是教育者帮助受教育者按照预期方式变化的过程，教师的主要任务是确定学生应发生什么变化，以及在次过程中如何为他们提供帮助。因此教师必须在把知识形态转化为解题策略时，抓住“问题”这个数学的“心脏”，达到教学相长的良性循环。

（责任编辑 郑文）