几种特别的不等式证明方法

陈新文

不等式证明是高中比较重要的一个知识点，最常用的是比较法、综合法、分析法.以下介绍几种特别的证明方法.

1本值不等式法

由公式a2+b2≥2ab和a+b2≥ab(a，b∈R+)可得以下结论：

（1）ab+ba≥2（a，b同号）.

（2）21a+1b≤ab≤a2+b22(a，b∈R+).

例1求证：4a-3+a≥7（其中a>3).

分析题目经变形后4a-3+(a-3)+3可以直接运用公式.

证明由算术平均数和几何平均数定理，

4迸斜鹗椒

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，Δ=b2-4ac≤0，则f(x)≥0.

若a<0，Δ=b2-4ac≤0，则f(x)≤0.

二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根，则Δ=b2-4ac≥0.

以上两条性质，可以用来证明不等式.

例4已知a，b是实数，b>0，求证：a2+b2>3a-2ab-4.

证明将所给的求证式变形为a2+(2b-3)a+(b2+4)>0.

左边是关于a的二次三项式，a为实数.

∵b>0，∴Δ=(2b-3)2-4(b2+3)=-12b-3<0，

∴a2+(2b-3)a+(b2+4)>0.

即a2+b2>3a-2ab-4.

点评若题目含有两个或两个以上字母的不等式，在应用公式法或比较法无效时，若能整理成一边为零，另一边是某个字母的二项式，则可用判别式法.

5惫乖旌数法

函数思想是中学数学重要的思想方法之一，有些数学问题只要将其中有些变化的量建立联系，构造出函数，再利用函数的性质解决问题.

例5求证：sin2x+9sin2x≥10.

分析本题可构造函数f(t)=t+9t试解本题.

证明易得0

设t=sin2x，则问题转化为证明f(t)=t+9t≥10在(0，1］上恒成立.

下面证明这个结论的正确性.