一元二次方程教法的思考

于红平

【摘要】数学教学的目的在于培养学生解决问题的能力和创新能力，学生解决问题的能力和创新能力的培养离不开知识和技能的掌握，知识、技能是以方法为中介对能力结构起作用的，数学方法中又包含着对数学知识和方法起本质概括作用的数学思想，如转化思想、方程(函数)思想、分类思想、数形结合思想等.所以，让学生掌握数学方法具有更重要的意义.

【关键词】一元二次方程；解法；思想

在“一元二次方程的解法”这一节中，我们接触了许多数学方法，这是这一章学习的重点，只有学生学会了这些方法，才能运用它们解决解一元二次方程的问题.那么，在本节课的设计中，就必须考虑如何使学生掌握这些数学方法.

一、对一元二次方程四种基本解法的思考

1敝苯涌平方法

当方程中一次项的系数为零时，方程可变形为x2=-ca的形式，或方程是一个含未知数式子的平方，即(x+a)2=b(b≥0)的形式，才可以用这种方法.

“直接开平方法”具有承上启下的作用，既可复习巩固有关“数的开方”的知识，又可以通过解(x+a)2=b(b≥0)形式的方程导出配方法，因此，必须熟练掌握.

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配方法是解一元二次方程的通法.配方，就是利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2把一个二次三项式配成完全平方的形式，配方法解方程就是把方程ax2+bx+c=0(a≠0)变形为x+b2a2=b2-4ac4a2的形式，再利用开平方法求方程的解.

用配方法解方程，步骤较繁，但是，配方法是导出求根公式的关键，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，今后学习二次函数时，到高中学习二次曲线时，经常用到.配方的过程是一个自始至终充满思维活力的过程，是对学生进行基本技能训练，提高思维素质的绝好材料，所以，教学中不仅要把这种方法的运用落实在解一元二次方程中，更重要的是必须着眼让学生熟练地把握这种方法的操作步骤，从语言的表述到字母的表示，都应在教学设计中体现出严格的要求.

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运用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.求根公式的导出是对一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)运用配方法的直接结果.求根公式的推导，主要依赖配方法和开方运算两部分知识来完成，对于公式的推导应给予足够的重视.运用公式法解方程是教学的重点，它是解一元二次方程的通法，具有普遍适用性，运用公式法的实质是求代数式的值或化简代数式.从这层意义上讲，运用公式法解一元二次方程是一种综合训练，能够有效地提高学生的运算能力，其重要性是不言而喻的.用公式法解一元二次方程，首先，要把原方程化为一般形式，因为公式中的a，b，c是对一般形式而言的；其次，要确定b2-4ac的符号，b2-4ac≥0是公式成立的必要条件；最后，是代入公式计算、求根.对学生的解题步骤应提出严格的要求，使学生养成良好的学习习惯.

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如果一个一元二次方程可变形为左边分别为两个关于未知数的一次因式的乘积，右边为零，即(ax+b)(cx+d)=0的形式，则令每一个因式为零，从而把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来求解.对于因式分解法的教学，应突出“降次”求解的思想.用因式分解法解方程前，先要将已知方程化成一般形式，应把它作为一个解题步骤提出来，这样可以有效防止出现诸如“x2-x-12=1，得(x-4)(x+3)=1.然后，令x-4=1和x+3=1，方程的解为x1=5，x2=-2”的错误.

二、对有关数学思想的思考

1弊化思想

转化思想就是把未知转化为已知，把复杂转化为简单，把新问题转化为已经解决过的问题的思想，是解决数学问题乃至自然科学和社会科学问题的重要指导思想，具有普遍的意义和广泛的应用价值，它贯穿于一元二次方程的解法这一节的始终.首先，在转化思想的指导下，课本给出了前三种基本解法的顺序结构(直接开平方法→配方法→公式法)；其次，在许多具体问题的处理中，我们通过开平方法、配方法、换元法、因式分解法实现了由繁向简、由未知向已知、由二次向一次的转化；最后，用公式法解方程，必须先把方程转化为一元二次方程的一般形式.本节内容的学习，有助于学生转化意识的培养和转化思想的掌握.

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有些数学问题的解决，可能条件和结论不唯一确定，有多种可能，需要从问题的实际情况出发进行分类讨论.本章一开始，就给出了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，这里a≠0是方程ax2+bx+c=0为一元二次方程的充分条件，它蕴涵着分类的思想.对于方程ax2+bx+c=0，要防止学生形成a一定不为零的思维定式，如果所研究的问题中明确指出了方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，则它隐含了条件a≠0；否则，方程ax2+bx+c=0既可能是一元二次方程(当a≠0时)，也可能是一元一次方程(当a=0且b≠0时).因此，复习时，应有的放矢地通过具体的例子(如(3-2x)x+5x=8-2x2)予以强调.对学有余力的学生，还应适当增加一些练习.如：当a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0分别是一元二次方程和一元一次方程?解关于x的方程a2x2-2ax+1=x(ax-1).使他们对有关概念有更加清晰的认识，对分类思想有更深的感悟.其次，求根公式中b2-4ac≥0这个条件就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)是否有解的分类依据，当然，这在后面的学习中还会继续研究.

三、结语

一元二次方程及其解法是代数教学的重点内容，它既是对初中阶段整式方程知识的总结，又是学习分式方程、无理方程和其他数学知识的基础，又有助于学生对解方程的思想和方法形成较为清晰、透彻的认识.所以，上好这节复习课至关重要，一定要予以高度的重视.