适当训练“一题多解”,提高高三数学复习实效

陈家国

怎样通过解题活动来培养学生良好的思维能力，是数学教学的中心问题.在高三数学复习过程中，教师思想认识上存在着一种错误认识，好像让学生见的题型多，练的题目多，学生数学就掌握得好.所以常常以精讲多练来训练学生，存在着过多过密的盲目解题.其结果是学生思维的灵活性逐渐降低，对外在事物的敏感度逐渐淡化，捕捉问题的能力逐渐下降，对于一些新题、变式题感觉到无从下手.只有“闻一以知十”解题，才能激发学生浓厚的学习兴趣，促进他们思维品质的发展.而正确引导学生进行一题多解则是激发学生学习兴趣，开拓思路，培养学生思维品质和应变能力的一种有效方法.

一、“一题多解”能巩固知识，提高实效

对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出不同的解法.在复习过程中，教师要充分发挥例题的教学功能，不失时机地通过引导学生进行“一题多解”的训练，尽量从多方面多角度去思考问题，达到以少胜多的目的.笔者在复习三角函数时，选取了如下问题，给学生讨论.

例1已知等腰三角形ABC一腰上的中线长为3，求△ABC面积的最大值.

学生经过分析，得到了如下几种情况的解答：

分析一如图，由条件可知AB=AC，BD=3，

设腰长为2a，则AD=DC=a，在△ABD中，

由余弦定理得：3=4a2+a2-4a2cosA(*)，

∴a2=35-4cosA.

消去a，得S△ABC=12×2a×2a×sinA=6sinA5-4cosA.

接下来通过导数判断函数的单调性，从而得到三角形面积的最大值.

分析二在分析一当中，部分学生是将(*)式变成cosA=5a2-34a2.再由平方关系，得sinA=-9a4+30a2-94a2，∴S△ABC=12·2a·2a·sinA=12-9a4+30a2-9.

这样，根式里面可以认为是以a2为变量的二次函数，利用二次函数的特点求解面积的最大值.

分析三作三角形的高AD，设腰长为2a，则AD=2asinC，

BC=2×2acosC=4acosC.

在△BCD中，由余弦定理，

得3=a2+16a2cos2C-2·a·4acosC·cosC，

即a2=38cos2C+1.

∴S△ABC=12·4acosC·2asinC=12sinCcosC8cos2C+1.

∴S△ABC=12sinCcosCsin2C+9cos2C=12tanCtan2C+9=12tanC+9tanC≤2，

当且仅当tanC=3时面积取得最大值2.

分析四如图，建立直角坐标系，设点A(0，h)，B(-a，0)，C(a，0)，则Da2，h2.

由BD=3得：94a2+h24=3，∴9a2+h2=12，

由基本不等式得：ah≤2.∴S△ABC=12·h·2a≤2，当且仅当h=3a时面积取得最大值.

通过本例的探究，既促使学生巩固了所学基础知识（如基本不等式、二次函数、正余弦定理等）的应用，又沟通了知识点间的联系，使得学生头脑中的知识网络更加丰满；通过对解题过程的反思，学生学会多视角、多方法去思考问题和发现问题，进一步感受了“转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想在解题过程中的作用，既培养了学生的思维能力，又提高了复习实效.

二、“一题多解”能提高兴趣，突破难点

高三数学复习解题量很大，每天复习的知识点必须通过适当的题目来巩固.在复习过程中，教师要善于把枯燥的解题活动组织得生动活泼，就必须坚持“学生为主体，教师为主导”的教学原则，切不可让复习课成为展示自己解题“绝活”的表演秀.每一模块复习结束时，教师不妨展示一两道有价值的数学题，师生共同探究，让学生在积极主动的探索活动中提高能力，展示才华.

如在向量复习结束时，笔者给学生展示了如下问题：

例2给定两个长度为1的向量OA，OB，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，求x+y的最大值.

学生甲经过思考，认为由于题目条件中知道了OA，OB，OC的模，并且OA，OB的夹角也是已知，因此两边平方就可以将向量问题转化为代数问题，从而得到了下面的第一种解法：

解法1（不等式法）∵OC=xOA+yOB，由已知得x≥0，y≥0，

从而OC2=x2OA+2xyOA·OB+y2OB2.

又|OA|=|OB|=|OC|=1，∠AOB=120°，故OA·OB=-12，

∴1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-34(x+y)2.

∴x+y≤2，当且仅当x=y=1时取等号.

学生乙认为本例图形比较特殊，联想到向量的坐标运算，从而得到了如下解法：

解法2（坐标法）以OA所在直线为x轴，O为坐标原点，建立直角坐标系.则OA=(1，0)，OB=-12，32，设OC=(cosα，sinα)，(0°≤α≤120°)，

∴OC=(cosα，sinα)=x(1，0)+y-12，32，

∴x-12y=cosα，32y=sinα，

则x=cosα+13sinα，y=23sinα.

故x+y=2cos(α-60°)≤2，(0°≤α≤120°).

学生参与解题的积极性被调动以后，不断提出一些新的设想，通过尝试，又得到了如下解法：

解法3（三角法）作CD∥OB交OA于D，设∠AOC=α，(0°≤α≤120°，

∠ODC=60°，∠OCD=120°-α.在△ABC中，CDsinα=ODsin(120°-α)=23，故y=CD=23sinα，x=OD=23sin(120°-α)，∴x+y=cosα+33sinα=cosα+3sinα=2sinα+π6≤2.

解法4（向量的数量积）设∠AOC=α.

由OA·OC=xOA2+yOA·OB，

OB·OC=xOA·OB+yOB2

得cosα=x-12y，

cos(120°-α)=-12x+y.

∴x+y=2［(cosα+cos(120°-α)］=2sinα+π6≤2.

解法5（几何法）连接AB交OC于D，设OC=mOD，

则mOD=xOA+yOB，∴OD=xmOA+ymOB.

∵A，B，D共线，则xm+ym=1，

∴x+y=m.

而|OC|=1，∴|OD|=1m.

要使x+y最大，则|OD|最短，即OD⊥AB，此时|OD|=12，m=2.∴x+y取最大值2.

通过教师的启发引导、学生之间的相互补充，本题得到了多种解法.在探究过程中，整个课堂充满灵感，充满激情.学生根据题设中的具体情况，及时提出新的设想和解题方案，不固执己见，不拘泥于陈旧的方案.既能让学生充分挖掘自身的潜能，感受成功的喜悦和增强自信心，激发了学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，也养成了良好的思维习惯，达到了优化解题的效果.

三、“一题多解”能提炼通法，拓展思维

高三复习过程中，要想提高复习效果，做到“轻负担、高质量”，教师就该研究复习方法，注意题型的一般解题方法的指导，即“通法”的指导.学生学会问题的“通法”，就能用一种方法解决一类问题.而“通法”提炼，往往可以通过一题多解来归纳.

比如说，反思例题1的求解过程，我们发现，尽管四种解法在求最值时，使用的工具不一，但是学生在入手时，都是抓住三角形中的边角关系来构建模型.这主要是因为三角形中的基本量就是三角形中的边和角.因此，我们总结出解决这一类问题的通法是：选定三角形中的某个角或边长为变量，通过三角形中的边角关系，把其他未知的量用所设变量来表示，从而进一步构建合适的函数模型，最后再选用恰当的方法来求解.如果是特殊的图形，有时候可以建立坐标系，用解析法来求解.同样，例题2的几种解法给我们的启示是，向量问题实数化是解决向量问题的基本思路，处理方式主要有利用向量数量积的运算或者通过坐标运算，转化为代数问题求解，当然在涉及两个变量的问题的时候，通常要进行消元转化为一个变量来处理.

高三数学复习不是在同一个水平上的简单重复，需要创造性地将知识、能力和思想方法在更多的新情境、更高的层次中不断地反复渗透，才能达到螺旋式的再认识、再深化乃至升华的结果.因此，在复习过程中教师适当地选择一些例题，通过一题多解，既让学生巩固了所学知识，又增加了学生解题的灵活性，培养和提高了学生的思维能力.