一叶知秋话解题

杨丹阳

的本质，学生才能真正学好数学，用好数学，本文主要从四个方面阐述.

【关键词】细节能培养学生优良的学习习惯；细节能培养学生的探索能力；细节能积累成一种能力；细节决定成败

1967年8月23日，苏联的宇航员科马洛夫殉难，原因是地面检查时忽略了一个小数点而导致联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，减速降落伞无法打开.这个事故告诉我们这样一个道理：对待人生不能有丝毫的马虎，否则，即使是一个细枝末节，也会让你付出沉重的甚至是永远无法弥补的代价.数学学习也是一样，在每一个细节上做足工夫，把握好数学中的每一个“细节”，找出问题的本质，学生才能真正学好用好数学.下面谈谈笔者的一些体会.

1毕附谀芘嘌学生优良的学习习惯

惠普创始人戴维·帕卡德曾说过“小事成就大事，细节成就完美”.细节，往往被人忽略，但恰恰最能反映一个人的真实水平.让学生重视数学学习的每一个细节，有利于学生培养优良的学习品质及严谨的数学逻辑思维能力，深化分类讨论的数学思想.

作为教师，纠正学生解题错误固然非常重要，但更重要的是通过教学中的一些细节，找出错误的原因，使学生遇事能认真分析，养成能认真思考每一个环节的习惯，提高学生的数学逻辑思维能力，培养学生良好的学习品质.

2毕附谀芘嘌学生的探索能力

海尔集团总裁曾说过“探索存在于每一个细节之中”.数学学习也一样，可以抓住数学问题的某些细节，发挥学生学习的主动性，让学生去思考、去探索、去发现有价值的东西，有助于提高学生的自主探索创新能力.

病例3已知抛物线C：y2=4x与一条过点A(0，1)的直线l，当直线l与抛物线C有且只有一个公共点时，求直线l的方程.

症状由题意设直线l的方程为y=kx+1.

由方程组y2=4x，

y=kx+1，可得ky2-4y+4=0.（*）

∴Δ=16-16k=0，∴k=1，∴直线l的方程为y=x+1.

分析如图可直观看出y轴与抛物线相切只有一个公共点，此时斜率不存在，故要讨论直线l的斜率是否存在.考虑Δ时，（*）是二次方程，故对二次项的系数也要进行讨论.

处方（1）当斜率不存在时，直线l：x=0符合题意.

（2）当斜率不存在时，

①当k=0时，直线l：y=1与抛物线C只有一个公共点14，1；

②当k≠0时，Δ=0，∴k=1，∴直线l：y=x+1.

综上所述，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1.

探索①A(0，1)改为A(1，2)，问：此时与抛物线C只有一个公共点的直线l有几条？

②A(0，1)改为A(1，0)，问：此时与抛物线C只有一个公共点的直线l有几条？

分析过定点A与抛物线C只有一个公共点的直线l的条数跟定点A与抛物线的位置有关.

结论①若定点A在抛物线开口方向外，则这样的直线l有3条（两条切线和一条割线）；

②若定点A在抛物线开口方向内，则这样的直线l有1条（一条割线）；

③若定点A在抛物线上，则这样的直线l有2条（一条切线和一条割线）.

3毕附谀芑累成一种能力

海不择细流，故能成其大，山不拒细壤，方能就其高.数学学习也是一样，只要平时注意并能认真解决好数学中的每个细节，解题能力就会逐步增强，这就是细节的魅力.

病例4求函数y=1x-ln(x+1)的单调减区间.

症状由y′=-1x2-1x+1=-x2+x+1x2(x+1)<0.

又∵x2+x+1>0，x2>0，

∴x+1>0，∴单调减区间为(-1，+∞).

处方函数的单调性首先应在函数的定义域内研究，

故x≠0，

x+1>0，

y′<0.∴单调减区间为(-1，0)，(0，+∞).

病例5求函数f(x)=x2+5x2+4的最小值.

症状f(x)=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2.（*）

∴f(x)的最小值为2.

分析利用基本不等式a+b2≥ab(a>0，b>0)求最值需满足“一正二定三等”，缺一不可，而（*）中当x2+4=1x2+4时取“=”，此时x∈.

处方令t=x2+4，则t≥2.

而f(x)=t+1t在t∈［2，+∞)上为增函数，∴当t=2即x=0时，f(x)的最小值为52.

这两个症状中的细节都是围绕函数的性质应考虑函数定义域的影响，我们把这些细节认真加以研究、总结、开发和利用，不但可以提高学生的数学成绩，也能提高学生的学习能力.

病例6已知双曲线方程2x2-y2=2，过点B(1，1)能否作直线l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

症状设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，

则2x21-y21=2，2x22-y2=2.

两式相减，得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0，

2·x1+x22-y1+y22·y1-y2x1-x2=0，即2×12-12×y1-y2x1-x2=0.

∴y1-y2x1-x2=2，

∴直线Q1Q2的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.

分析要使B点是弦Q1Q2的中点，首先直线l与双曲线有两个不同的交点Q1，Q2，

故方程组2x-y-1=0，

2x2-y2=2应有两组解，而消去y，得

2x2-4x+3=0.

此时Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，无实根.

因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在.

4毕附诰龆ǔ砂

1%的错误会带来100%的失败.原因很简单，数学填空题的结果只有对与不对，一个细节没有考虑周到，就是全错，所以只有一丝不苟、仔细审题的学生可以做出正确答案，注重“细节”是学生取得好成绩的一个关键.

病例7若向量a=(λ，2)，b=(-3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围为.

症状∵a·b=|a||b|cos〈a，b〉，〈a，b〉是锐角，

∴a·b>0，

∴a·b=-3λ+10>0，∴λ<103.

处方∵〈a，b〉是锐角，∴cos〈a，b〉＞0且cos(a，b)≠1.

当cos〈a，b〉=1时，a与b同向，此时5a+6=0，则λ≠-65.

∴λ的取值范围是λ<103且λ≠-65.

往往学生的水平在知识能力等方面差距不是很大，要想在高考或其他考试中获胜，实际上还是那百分之几的细节，所以说“细节决定成败”，可能一两天觉察不到细节的“魅力”，但经过一个月、一个季度、一年，细节的重要性就会充分显现.所以，作为一名数学教师，必须重视每一节课的细节，每一次作业的细节，让学生掌握好数学中的每一个细节，长此以往，既能培养学生优良的学习习惯，又能培养学生的探索能力，学生不但能够很好地掌握知识，提高数学成绩，而且综合能力与素质都能进一步提高.