试论直觉思维能力的培养

赵波

【摘要】直觉思维是以“非逻辑”为主要特征的一种思维方式.数学虽以严谨的逻辑思维著称，但在人脑中进行的思维活动，“非逻辑”的直觉思维却占有很大的比例.所以说，直觉思维是数学思维的不可或缺的重要组成部分.在概念或是解题教学中，培养学生的直觉思维能力是数学教育义不容辞的职责.

【关键词】直觉思维；数学悟性；直观领悟；合情推理；类比联想；顿悟灵感；严格证明

培养学生严谨的逻辑思维能力无疑是数学教育的“重头戏”，但我们绝对不能因此而忽视“非逻辑”的直觉思维能力的培养.在以前历次颁布的《高中数学教学大纲》中提到的均是“数学逻辑推理能力”的培养，可在《普通高中数学课程标准(实验)》中，其中的“逻辑”两字已被去掉，而是说成“培养学生的思维能力”，意味着已经将“非逻辑”的直觉思维能力的培养纳入数学教育的目标之中，大大拓展了数学思维的外延，标志的是数学教育理念的发展和进步.

何谓“非逻辑”的直觉思维？著名特级教师黄安成先生在文［2］中将此种思维统称为“数学悟性”，并指出其主要特征：“所谓数学悟性，就是指对数学对象及解决问题时的‘直观领悟、合情推理、类比联想、灵感顿悟.”

1敝惫哿煳

数学主题通常都是由逻辑推理得到的，彰显的是数学理性精神的光辉，理论上的严谨通达才能使人心理和谐顺畅，且记忆牢固.但我们也发现，也有一些数学主题的获得依靠的是直观领悟，而不是严谨的逻辑推理.正如德国数学家克莱因说：“一个数学主题，只有达到直观上的显然才能说理解到家了.”这种理念在数学新课程、新教材中已得到充分的体现.

如两个计数原理、排列组合公式、各种概率公式的推得，都是不严密的，但利用生活中获得的数学经验，从特殊到一般，从具体到抽象，学生都能达到直观的理解.

《立体几何》中的公理的出台也都是基于“直观上的显然”.一些概念与定理，如直线和平面垂直的定义，只能利用具体的事物来导引学生形成和树立.即便是定理，如直线和平面垂直的判定定理，过去的教材给出了严格的证明，但由于图形复杂、方法生涩、推理繁冗，初学者很难达到透彻的理解和熟练的驾驭，属于“吃力不讨好”之举，故新课程、新教材已将其删去.在现在的教学中，充分运用直观能力可使学生达到实质性的领悟.一条直线如果与平面内的一条直线垂直，当然不能判断这条直线与这个平面垂直；但即使一条直线与平面内无数条直线垂直，也不能判断这条直线与这个平面垂直，因为这无数条直线如果互相平行，那么它们只代表着一个方向，则只能“相当于一条直线”；但如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则可以判断这条直线与这个平面垂直，这就叫做“线不在多，相交就行”.在“纯理性”论持有者看来，这段话与逻辑思维毫不沾边，“什么叫‘相当于？不通！”可是学生绝对能懂，而且非常欢迎这种说法.

还有一个更典型的案例，即“导数”的教学.从直线的斜率到函数的平均变化率、函数的瞬时变化率，再到导数概念的最终出台，我们何曾见到一点逻辑思维的痕迹？下面的教学片段颇具说服力：

图1

教者首先带领学生回顾“平均变化率”的概念，函数y=x2在区间［1，1+a］上的平均变化率，即对应的曲线割线的斜率.如图1(多媒体课件配合)，当a的值依次为0.1，0.01，0.001，…时，割线的斜率依次为2.1，2.01，2.001，…我们发现了一种奇妙的规律，即当a的值越来越接近于0时，割线的斜率就越来越接近于切线的斜率2.这不应是偶然的吧？需对一般情形进行探讨：

设曲线C：f(x)=x2上的点P(1，f(1))，Q(1+a，f(1+a))，则割线PQ的斜率为

k割=f(1+a)-f(1)(1+a)-1=(1+a)2-1a=2+a.

那么当a的值无限趋近于0时，2+a无限趋近于2，即k割就无限趋近于k切，可概括为a→0，则1+a→1，2+a→2，Q→P，k割→k切.

更一般地，设曲线C：y=f(x)上的点P(x0，f(x0))，Q(x0+Δx0，f(x)+Δx0)，那么割线PQ的斜率为

k割=f(x0+Δx0)-f(x0)(x0+Δx0)-x0=f(x0+Δx0)-f(x0)Δx0.

则当Δx0→0时，k割→k切，就将k切叫做函数y=f(x)在x=x0时的导数.

这里的“越来越逼近”“无限逼近”“最逼近”等规律都不是通过严谨的逻辑推理得到的，而是借助于生动、具体、形象的画面，使学生的大脑产生“内化”效应，渐渐地领悟其实质，这种“内化”就是直观领悟的反映.

再说一个反面的教学案例，某教师在“数学归纳法”的教学中，试图用“高观点”来统领教学，即用极严谨的推理方式来阐释数学归纳法的理论基础与渊源，甚至将最小正整数、无穷大等高深理论引进课堂，结果弄巧成拙、事与愿违，学生只能是一头雾水.这节课名副其实地归入“废品”之列.

正面的经验和反面的教训使我们深刻地体会到严谨的逻辑思维不是万能的，也不是随时和随处可见的，学生的思维能力中绝对地包含直觉思维能力.

2焙锨橥评

合情推理与直观领悟有一定的内在联系，但也有自身的特征，那就是虽具有一定的推理成分，但却没有完整的逻辑推理链条，而具有简约、跳跃、猜测等特点.如前所述，在建构知识和技能的过程中需要合情推理，在解答填空、选择题中更需要合情推理.对于解答题，虽然最后的表述需要的是一丝不苟、滴水不漏的推理过程，但在形成思路、确定目标的探索、尝试、构思、检索、猜想、突破、检验、辨误等过程中却离不开合情推理.英国哲学家、数学家休厄尔说：“若无大胆放肆的猜测，一般是作不出知识的进展的.”将合情推理提升到“大胆放肆”的层面，可见合情推理的不可低估的作用.

图2

如在“补集”的教学中，通过教师的引导，学生在深刻领悟图2含义的基础上，很快顺理成章地理解知识的本质并得到“补集”的所有性质：

这类通过合情推理实现知识的顺应与同化的例子比比皆是，因此充分利用合情推理的强大功能是在数学教学中实现节时高效不可或缺的良策.

图3

例1如图3，过点P(0，3)的动直线l交椭圆x29+y24=1于不同的两点A，B，若A位于P和B两点之间(不含P，B)，设|PA|∶|PB|=λ，求λ的取值范围.

此题原有的解法极其繁冗，可在课堂上竟有学生给出令人惊愕的简捷解法：

当直线l与x轴垂直时，|PA|=1，|PB|=5，则λ=15.

如果直线l与椭圆相切，设切点为M，此时A，B两点重合于M点，|PA|=|PB|，λ=1.而A，B为不同的两点，所以λ≠1.

综上所述，λ的取值范围是15，1.

上述解法虽不能说尽善尽美，但闪耀着智慧火花的合情推理应得到充分的肯定和褒奖.

3崩啾攘想

从表面上看来，甲乙两种事物似乎没有什么内在联系，但由甲事物的结构、形态、特征联想到乙事物.基于此，将解决与甲事物有关问题的技能、技巧迁移到与乙事物有关的问题中来，就叫做类比联想，属于“非逻辑思维”范畴的一种直觉思维.

比如，设三角形的周长为C，内切圆半径为r，则三角形的面积S=12Cr，由此可得r=2SC或C=2Sr.那么在立体几何中，若多面体有一内切球，内切球的半径为r，多面体的表面积为S，体积为V，则V=13Sr，r=3VS，S=3Vr.从三角形到多面体，从面积到体积，从内切圆到内切球，跨度不可谓不大，但运用类比联想，瞬间实现了沟通，可解决的问题多多.

例2在1，2，3，4，5，6这六个数中任取五个组成数字不重复的五位数，求所有五位数的和.

此题的原本解法非常繁琐，经过改进，虽有所简化，但仍有学生感到不满意，他们给出了如下令人慨叹的更加简捷的解法：

五位数共有A56=720(个)，其中最小的是12345，最大的是65432，

所以所求和为12345+654322×720=27999720.

道理如下：

将这720个数按从小到大的次序排列，得a1，a2，a3，a4，…，a717，a718，a719，a720，它们虽然不能构成等差数列，却具有类似于等差数列的性质：a1+a720=a2+a719=…=12345+65432=77777，故得解.

类比联想创造了奇迹！

4绷楦卸傥

一位哲人曾说过：“创造是思维的‘短路，通常是‘不大讲道理的，若过分囿于逻辑推理，则很难作出创造.”这与上面休厄尔的名言有着异曲同工之妙.著名数学家、数学教育家波利亚也说：“无论如何，你应该感谢所有的新念头，哪怕是模糊的念头，甚至是感谢那些把你引入歧途的念头.因为错误的念头往往是正确的先驱，导致有价值的新发现.”

例3设集合A={0，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，10}，集合C同时满足：①若将C的各元素均减去2，则所得新集合是A的一个子集；②若将C的各元素均加上3，则所得新集合是B的一个子集，那么满足这两个条件，且元素最多的集合C=.

若循规蹈矩地进行逻辑推理，此题的解答必将陷入困境，必须来个“灵机一动”：题目说“减去2”与“加上3”，我们就来个“加上2”与“减去3”.那么将集合A的各元素分别加上2，得集合D={2，4，5，7，10}，将集合B的各元素分别减去3，得集合E={-2，0，2，4，7}，则所求集合C=D∩E={2，4，7}.

不起眼的一个“金点子”闪耀的却是创造灵感的思想光辉.

图4

例4如图4，平行六面体AC1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，当CD∶CC1为何值时，A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

这是一道著名的高考试题，有相当的难度，常规解法为：设CD∶CC1=x，设法列出关于x的方程，但构建和解方程谈何容易！在这种困境之中一个大胆的顿悟使题解出现了根本性的转机，所求比值会不会是1呢？试试，还真的试成功了：

事实上，当CD=CC1时，C-BDC1是正三棱锥，很容易证得A1C⊥平面C1BD，与列方程的解法相比，简直有天壤之别！

行文至此，我们一方面感慨于直觉思维的巨大功能和培养学生直觉思维能力的重要性，但在本文末，还必须说以下两点：

(1)直觉思维的功能绝对掩盖不了数学理性精神的光辉，绝对不能因为强调了直觉思维能力的培养而削弱了逻辑思维能力的培养.

(2)绝不能满足于利用直觉思维对于问题的解决，不能停留在“感情用事”的层面上.利用直觉思维解决问题，即使再漂亮、再简捷、再优美，最后还须做到理性回归，要知其然，还要知其所以然.

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(实验).北京：人民教育出版社，2003.

［2］黄安成.谈数学悟性.上海：数学教学，2000（3）.