与点有关的距离计算

邓南昌

【摘要】 理解和掌握点到点、点到平面、点到直线的这三类距离的计算，有助于系统地掌握各类关于距离的计算，有助于空间思维水平和代数应用能力的提高.

【关键词】 点到点的距离；点到平面的距离；点到直线的距离

点到点、点到平面、点到直线的距离计算是中学数学的重要内容之一，其他类型的距离都可转化为这三类中的一种. 下面通过具体例子来了解这三类距离的计算和应用.

一、点到点的距离

设空间直角坐标系中有两个点（Ｘ１，Ｙ１，Ｚ１）和（Ｘ２，Ｙ２，Ｚ２），则这两点间的距离为 ■.

例１ 求空间中点（５，２，３）到点（２，１，６）的距离.

解 这两个点之间的距离为

■ = ■.

点评 两点间的距离公式是求各类距离的基础.

二、点到平面的距离

设点Ｐ（ＸＰ，ＹＰ，ＺＰ），有一平面的方程是Ａ（Ｘ － ＸＯ） ＋ Ｂ（Ｙ－ＹＯ） ＋ Ｃ（Ｚ － ＺＯ） ＝ ０或ＡＸ ＋ ＢＹ ＋ ＣＺ ＝ Ｄ，则点Ｐ到该平面的距离为

■ =

■ =

■.

特别地，Ｐ点若是（0，0，0）时，则P到该平面的距离是

■.

例２ 计算原点（0，0，0）到平面Ｘ ＋ Ｙ ＋ Ｚ ＝ １的距离.

解 距离为■ ＝ ■.

点评 两个平行平面ＡＸ ＋ ＢＹ ＋ ＣＺ ＝ Ｄ１和ＡＸ ＋ ＢＹ ＋ ＣＺ ＝ Ｄ２间的距离可转化为点到平面的距离，整理得到

■.

又两条异面直线 ：

X = X1 + Q1T，Y = Y2 + R1T，Z = Z2 + S1T和X = X2 + Q2T，Y = Y2 + R2T，Z = Z2 + S2T间的距离也可转化为这一类，得■.

三、点到直线的距离

点Ｐ（ＸＰ，ＹＰ，ＺＰ）到直线X = X0 + QT，Y = Y0 + RT，Z = Z0 + ST的距离为

■.

例３ 求点Ｐ（３，５，２）到直线X = 1 + 3T，Y = 6 + 2T，Z = 4 + 8T间的距离.

解 距离为■ =

■ =

■ =

■ = ■ .

点评 两条平行直线 X = X1 + QT，Y = Y1 + RT，Z = Z1 + ST和X = X2 + QT，Y = Y2 + RT，Z = Z2 + ST间的距离可转化为■.

理解和掌握上述三类与点相关的距离计算，有助于学生系统地掌握关于距离的计算，特别有助于学生空间思维水平和代数应用能力的提高.