例谈分类思想在初中数学课堂教学中的渗透

潘兰芳

分类思想作为一种数学思想方法具有很强的综合性、探究性和逻辑性等特点， 能体现学生的数学能力．学生学习分类方法的过程应该是一个数学知识不断转化、不断迁移， 智力技能不断提升的过程． 而现状是在数学课堂上学生比较注重对数学知识的学习， 由于能力及心理发展等因素的限制， 往往不能对数学思想方法主动的探索或小结， 更谈不上形成系统的分类能力， 他们更多的是凭借自己的经验和直觉进行分类讨论． 要想解决这一问题， 需要教师在课堂教学中结合教材具体内容进行整体规划， 作出合理安排，不断渗透分类的思想．

一、在定义教学中渗透分类思想， 促进学生主动建构知识

数学中的定义很多，其中有一部分知识点在定义时就产生了分类，比如几何中等腰三角形的底角和顶角的分类，等腰三角形的腰和底边的分类，直角三角形的斜边和直角边的分类，不确定的相似三角形中对应顶点的分类，代数中方程、函数的定义等．在此类问题教学时，要让学生明白分类讨论是一种重要的逻辑方法， 也是一种常用的数学思想. 当问题所给出的对象不宜进行统一的研究和推理时，就只能用分组的形式进行， 对研究对象进行分类后对每一类分别进行研究， 最后综合各类的结果得到整个问题的结果． 这种思想可以化整为零， 把复杂的问题转化为单一问题， 便于各个击破， 它可以培养学生思维的条理性和概括性， 提高学生分析问题和解决问题的能力．

典型例题１：

（１）已知等腰三角形的两边长分别是４和６，那么它的周长是 ；

（２）在平面直角坐标系中，已知点Ａ（４，０），Ｂ（４，１０），点Ｃ在ｙ轴上，且△ＡＢＣ是直角三角形，则满足条件的Ｃ点的坐标为 ；

（３）当ａ 时，关于ｘ的方程ａｘ２ ＋ ２ｘ － ６ ＝ ０有解；

（４）函数ｙ ＝ ｍｘ２ ＋ ｘ － １与ｘ轴只有一个交点，求ｍ的值与交点坐标．

本例的分类思想还是很明确的，虽然问题的提问方式并没有对定义的分类内容进行解释，但题意本身却要求学生在解题的时候，根据定义的分类要求进行合理的分类， 所以学生还是很容易掌握分类和讨论的方法. 此例旨在渗透分类思想概念， 并促成学生逐步形成分类意识．

二、在图形形状、位置不确定时，由浅入深渗透分类思想

初中数学分类讨论的涉及面比较广， 如何由浅入深进行分类思想的渗透， 是让学生真正掌握分类思想的重要过程．因此在教学中要研究分类思想的相关特征， 及时有效地进行分类思想的渗透教学． 图形形状、位置不确定是分类的重要特征，如不确定的三角形的锐角、钝角与直角的分类，两圆相切存在内切和外切的分类，圆中两条平行弦在圆心同侧和异侧的分类等，此类问题多且复杂隐蔽，很多情况下的分类是学生意想不到的，因此往往导致遗漏，即分类不全．

典型例题２：

（１）已知⊙Ｏ的直径为１０，弦ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ ＝ ６，ＣＤ ＝ ８，则ＡＢ与ＣＤ之间的距离为 ；

（２）已知⊙Ｏ１与⊙Ｏ２相切，⊙Ｏ１的半径为９厘米，⊙Ｏ２的半径为２厘米，则Ｏ１Ｏ２的长是 ；

（３）已知二次函数ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ２， 当－ ４ ≤ ｘ ≤ ５ 时， 求函数的最大值和最小值．

该例中（１）题要考虑两条平行弦在圆心同侧还是异侧，（２）题要分两圆内切、外切两种情形，（３）题是由二次函数对称轴位置的变动引发的分类讨论．在教材中类似以上可以进行分类的内容还有很多， 对于这类问题在新课学习中要不断练习强化， 不断积累，不断总结，使学生的分类讨论思想在螺旋式上升过程中得以形成．

三、在运动中渗透分类思想，使其在学生头脑中得到升华

点在线段、射线、直线及折线上运动时在不同的位置产生的分类，图形运动中构成相应图形不同情况的分类等．此类问题的主要特点是点或图形在运动，由于运动产生了不同的情况．

典型例题３：

如图，Ｐ为正方形ＡＢＣＤ的对称中心，Ａ（０，３），Ｂ（１，０），直线ＯＰ交ＡＢ于Ｎ，ＤＣ于Ｍ，点Ｈ从原点Ｏ出发，沿ｘ轴的正半轴方向以每秒１个单位的速度运动，同时，点Ｒ从Ｏ出发沿ＯＭ方向以每秒■个单位的速度运动，运动时间为ｔ. 求：

（１）Ｃ的坐标为；

（２）当ｔ为何值时，△ＡＮＯ与△ＤＭＲ相似？

（３）△ＨＣＲ的面积Ｓ与ｔ的函数关系式，并求以Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｒ为顶点的四边形是梯形时ｔ的值及Ｓ的最大值．

此题考查的就是点的运动问题，在仔细分析题意的同时，要求将点运动的过程与图相结合，明确点运动的情形如何，整个过程产生了哪些情况，从而也就确定了分类的情况和分类的依据了.

经过长期的演练， 学生对数学分类讨论思想有了一定的认识， 学生的综合解题能力也有了一定的提高． 当然还有很多值得注意的细节，并需教师能够针对学生的常见错误加以小结，促使学生注意数学的严谨性和逻辑性，培养思维的条理性、缜密性、科学性．

分类讨论作为一种思想方法， 仅凭一两节课或几个例子的讲解， 就想达到让学生完全接受和掌握是不可能的． 如果单纯强调分类思想， 而忽略基础知识的教学， 会使教学流于形式， 成为无源之水， 无本之木， 学生也难以领略到分类思想的真谛． 分类思想的教学应与整个基础知识的讲授融为一体，而这需要一个长期的、系统的训练过程，对症制定分类思想渗透方案进行逐步渗透， 这是我们学习数学所追求的目标之一．