也谈数形结合思想的应用

张学峰

数形结合思想是一种重要的数学思想，通俗地说就是代数与几何相结合的思想。著名数学家华罗庚指出：“数缺少形时少直观，形少数时难入微。”这句话说明了“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”.

纵观近年来的高考，融“数”和“形”于一体的试题屡见不鲜.目前我们使用的新课本，不再把数学课划分为“代数”、“几何”，而是综合为一门数学课，这样更有利于“数”与“形”的结合.因此数学教师在教学中要做好“数”与“形”关系的揭示与转化，运用数形结合的方法，帮助学生类比、发掘，剖析其所具有的几何模型，这对于帮助学生深化思维，扩展知识，提高能力都有很大的帮助.

综合教学内容，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，是我在数学教学中着力追求的目标.

1.在函数方面的运用

例1：（利用函数的奇偶性判断函数图像）已知函数y=f（x）的图像如图1（甲）所示，y=g（x）的图像如图1（乙）所示，则函数y= f（x）·g（x）的图像可能是图中的（？摇？摇 ）

图1（甲） 图1（乙）

AB CD

解析：首先从f（x）与g（x）都是偶函数，可知函数y= f（x）·g（x）也是偶函数，故首先排除A、D.另外从两个函数图像对比可以看出，在区间（-1，0）∪（0，1）上，f（x）>0，而g（x）<0，则f（x）·g（x） <0，故排除B，正确答案为C.

点评：利用函数图像解决有关函数性质问题，这是一类常考常新的题目类型，要善于用数形结合的思想方法解决问题、分析问题，避免走弯路.

2. 在不等式方面的运用

例2：当1b.

解析：直接证明有困难，稍作变形，情况如何？将a>b两边取对数，即证（b-1）lga>（a-1）lgb.由于b-1>0，a-1>0，于是改写成>，再变形，上式即为>.

表达式让我们联想到斜率公式.若设f（x）=lgx，考虑到1.

点评：有些几何图形，并不是一眼就能从题设条件中看透的.只有在逐步变化过程中，本质才能暴露出来.同时，“数”到“形”的转化，又必须具备敏锐的观察力和丰富的联想类比的能力.表达式要与斜率公式挂钩，其中-lg1架设了桥梁.由转化为几何图形还要有一次创造性的飞跃，“执果索因”的分析过程，是解决本题的“金钥匙”.

3. 在解析方面的运用

例3：已知点列P（a，b）满足P（，-1），且a=，b=-（n∈N）.

（1）写出过点P，P，P的圆M的方程；

（2）判断点P（n≥4）与圆M的位置关系；

（3）若P（x，y）是圆M上的动点，求的取值范围.

解析：（1）由题意得：P（1，），P（，-），显然P，P，P到原点的距离相等.故圆M的方程为x+y=.

（2）由点P（，-），易得P（，）.显然P（，）在圆M上，故猜想点P（n≥4）在圆M上，以下用数学归纳法证明.

① 当n=4时，P（，）在圆M上.

②假设点P在圆M上（k≥4），即a+b=，则当n=k+1时，

a+b=（）+（）===，

∴点P在圆M上.故当n≥4时，点P（n≥4）均在圆M上.

（3）表示圆M上的动点P（x，y）与定点A（0，）连线的斜率的取值范围，由数形结合可得其范围为（-∞，]∪[，+∞）.

cos∠POM===？圯R=R=·，同理得R=·（），R=·（）…故这些球的体积之和V=（）[1+（）+（）+…]=.

利用数形结合的思想可以避开复杂的运算过程，从而提高解题速度与准确性.