“对数的运算性质”教学设计

陈文进

本文就几位赛课教师所教学的“对数的运算性质”一课的教学内容、教学设计、教学过程，以及实践中的部分片段谈谈笔者的想法，仅供参考，不当之处敬请批评指正.

一、“对数的运算性质”到底是怎样的一个性质

当前课堂教学所表现出的问题要是对数学知识的理解不到位，无深层次思维及本质的探索.而只有有了问题或知识的源头才能更好地进行教学设计，从而上出一堂精彩的课.

对数的运算性质的灵活掌握，基于对对数式的准确认识，如：log3是什么？刚学完对数的概念，学生对对数式还有些陌生感，甚至书写上还存在偏差，一下子很难从指数式变换到对数式.好像我们初中认识，π等一样，只是一个数值，这个数值源于一个运算.我们在关注对对数式的认识时，只有弄清楚对数的运算性质到底是怎样的性质，才会有恰当的教学设计.

二、对数的运算性质一课的教学该如何设计

了解了对数的运算性质及对数的概念，再进行设计教学也就有了根据.

整个教学过程应该围绕教学目标进行，所有的教学活动也应依据教学目标而开展.本节课的教学就是要让学生明确：（1）对数的运算性质是怎么来的；（2）对数的运算性质的必要性.让学生领会这一性质的实质及必要性，为今后熟练运用此性质进行对数运算奠定基础.

（1）情境设置一般都是提出问题.看如下两个引入问题：

指数幂运算有如下性质：aa=a①，=a②，（a）=a③.

对数的运算是否也有相应的性质？

（2）求lg2，lg5的值，那么lg2+lg5≈1还是lg2+lg5=1呢？

情境（1）存在的思维障碍是：无方向感，即使对数的运算有相应的性质，但体现的形式究竟是怎样的呢？通俗地说，问题问得有点大，还得重新设置情境.

情境（2）问题设置：lg2+lg5的值如何得到？计算器不是随时都可以使用，且计算器不一定能计算复杂的代数式.要计算lg2+lg5的值，必须利用对数的运算性质.

让学生感受问题研究的必要性，激发学生思考，并使问题明确，让学生有效地研究，主动地学习，才能保证有良好的教学效果.

指数幂运算性质与对数的定义应该是对数的运算性质的根本.这就要求我们得清楚如何运用对数的定义及指数幂的运算性质得到对数的运算性质.

如指数幂的运算性质中aa=a，另根据对数的定义有a=N，我们令m=logM，n=logN，不难发现a·a=M·N，且a=a，则MN=a，根据对数的定义把此式转化成对数式，即log（MN）=logM+logN.

有了性质①的指引，学生自然会去使用指数幂运算性质②、③来接着推导对数的运算性质.我们只要令m=logM，n=logN，其中a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R，使得性质的导出不再突然.至于教材对性质①的证明，则使用了逆过程，即从对数再回到指数.这样就使得两个性质的内容相得益彰，教学内容也得以丰富、圆满.

很显然，其中“a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R”都是对数的运算性质成立的前提，如logx+log（2-x），化简为log（2x-x）的前提是x>0且2-x>0.所以每一个对数式的出现，其真数一定是大于0的，当然底数a>0且a≠1亦是必需的.

学生在使用该性质进行对数运算化简时，多数是在套用.如例4，log（2×4），我们完全可以使用对数定义及指数幂运算性质来解决.笔者认为教材的编排意图是让学生初步体会公式的作用，能够让很大数的对数化归为较小数的对数运算.再如例5，通过lg2，lg3的值去求lg12的值，我们就能明显感觉到对数运算性质的好处，性质的存在就显得十分必要.

还有两个问题，即真数大于0与公式的记忆对学生的要求.辅助练习中有如下几题：

若a>0，a≠1，下列等式中不正确的是？摇 ？摇.

①log（M+N）=logM+logN；②log（M-N）=logM-logN；

③log（MN）=logM+logN；④log（MN）=logMlogN；

⑤log=；⑥（logM）=nlogM，n∈R.

对于这样的巩固练习到底是使学生记忆加深印象，还是造成混淆，笔者认为值得商榷.譬如，对于③的不正确性，学生一片哗然，老师解释了以后有的才反应过来，因为此时的学生哪里能顾得了这么多.笔者认为这样的圈套不宜设置，特别是其中一位教师在刚介绍完公式及证明后，跟着就设置这样的问题就更不应该了.你要真想巩固“真数要大于0”，就可以直接地问：log[（-2）×（-3）]是否等于log（-2）+log（-3）？还有①，笔者认为这明显是一种误导，本来也许学生并没有这样的想法，这个错误的等式就成了干扰.更何况学生正在进行正确的记忆储备，而且这个等式也不是一定不成立，如：log（2+2）=log2+log2.笔者认为大可不必通过这种方式来巩固等式成立条件及加深对公式的记忆，只要原理弄清摸透，加强正面训练，熟练掌握就会水到渠成.

其实教材中的练习足以让学生对公式的使用进行巩固.当然，如果学生的基础比较好，可以加一些与其他知识综合的问题或综合使用多个公式的问题.苏州市教研室陈兆华老师一次讲座中讲道：“上向量一节的内容，要求学生证明一个不等式，学生均考虑用向量法；而我们是否能在上证不等式课时，让学生用向量法呢？”意指我们的教学要让学生学会思考，不要把数学课上成了心理课.

三、对教学实践过程中几个片段的思考

笔者对几位教师在教学实践中的几个片段谈谈看法，以供再设计、再教学时参考.

片段1：对对数运算性质的发现的设计.

师：①计算：log8，log32，log（8×32）；

②若logM=p，logN=q，能否用p、q来表示log（MN），log，logM？

这两个问题能有效引发学生的思考，学生有能力且有兴趣去解决.就在学生积极思考和演算时，老师又提出问题：大家很容易发现①中什么结论？根据①的结论，你能猜出②的结论吗？请学生回答，学生回答得倒也算流畅，如师所愿.

师：哪位同学来证明一下这个结论？

这么好的一个情境效果被大大打了折扣.我们凭什么去猜②的结论？猜的结论就一定是正确的吗？如何谈得上证明？一个好的情境引人深思，但不能充分利用，将事倍功半.教师在课堂教学中一定要关注提问的有效性，要有明确的目的性、合理的针对性、耐人寻味的启发性.

片段2：也是引导学生发现对数的运算性质.

师：分数指数幂有了运算性质，对数来自于指数，对数是不是也应该有呢？请看大家最熟悉的等式：5+3=8，5-3=2.

老师特意顿了一下，学生一脸诧异的表情，等待着下文.

师：我们根据上节课练习，已知恒等式：loga=b.这样的话，我们可以有：

5+3=8？圯log2+log2=log2；5-3=2？圯log2-log2=log2.

若2=M，2=N，2=？则有什么样的等式呢？

……

logM+logN=log（MN），下面我们来证明.

很巧妙的构思，等式的发现、原理的阐述，都比较到位，很自然，使得教材中设logM=p，logN=q变得理所当然，而非突如其来、奇思妙想.

美中不足的是，既然已经提到了对数恒等式loga=b中的对数式是以a为底数，就没有必要以2为底数以后，再举例底数3，底数4，进而再一般化为底数a，有些啰唆.

对数的运算性质固然已为数学结论，前人已定，但对于学生来说，仍然需要“再发现”.问题式情境导入，研究性探讨学习，是新课程改革的主要导向.让学生了解知识的发生过程，重视结论的来源，增加学生数学思维“参与度”，应成为如今数学课堂教学的主要任务；让学生成为实验者、研究者、创造者，应是中学数学教育的主要方向.