基尼系数求解方法的简要描述

李瑞,杜宝苍

摘 要：基尼系数是测算收入差距最经常使用的方法，非常便于国际间的比较，民众也不会感到陌生。但是对于基尼系数的具体求解过程却是值得研究的课题。基尼系数的计算方法有四种，即：等分法、平方差法、协方差法和矩阵方法。基尼系数目前已成为度量收入差距常用的经济范式之一。

关键词：基尼系数；等分法；平方差法；协方差法；矩阵方法

中图分类号：F224文献标志码：A文章编号：1673-291X（2012）08-0016-02

基尼系数用一定人口所获得的收入比例来反映收入分配差距的总体水平，自1921年问世以来，在收入分配领域实证研究和政策分析中被广泛应用，目前已成为度量收入差距的最常用的经济范式之一。

图1

如图1所示，a代表实际收入分配曲线，b代表收入分配绝对平等曲线，曲线a、b所夹图形的面积是A，曲线a与右坐标轴所夹图线面积为B，基尼系数表示为G=。曲线a到直线b的距离被称为鲁宾霍德指数，近似等于高于平均收入的人群应该转移给收入水平低于平均水平的人群的收入总额。对基尼系数可以进行下面的计算：

设正方形为单位正方形，即边长为1面积也为1的正方形，则有：

A＋B＝1/2

基尼系数就可以表示为：

G＝G=＝2A＝1－2B

如果收入分布是离散的，基尼系数可以进一步表示为：

其中，G代表基尼系数，n代表样本数量，是居民的平均收入，定义为

这个定义表明，与收入相关的权重（n+1-i）是收入大小的逆序数，高收入者在指数计算中所占的权重小，低收入者在指数计算中所占的权重大。基尼系数的计算方法很多，相应的基尼系数的形式就有所不同，但是所有的基尼系数都有共同的理论基础，那就是用人口比例和收入比例的对应来表示收入的不平等分配。下面介绍四种常用的基尼系数表示形式。

一、用等分法求解基尼系数

如果利用等分法进行基尼系数的计算，那么我们可以将全部居民家庭户或人口按照收入单调递增顺序排列，并等分为n组。设第I组的平均收入为yi，则第I组的收入额占全部收入分配额的比重为：

且有

于是基尼系数

式中，

如果收入分布是连续的，则可将基尼系数的计算公式改写成：

一般地，在根据统计资料计算连续收入分布的基尼系数时，首先要设定洛伦兹曲线的函数关系式模型，然后用实际统计的数据，借助回归方法估计模型参数，最后确定函数关系模型，进一步确定位于洛伦兹曲线下方的面积和基尼系数G。例如，设某一洛伦兹曲线为一指数曲线，即，利用统计数据进行回归得到，则回归曲线的具体形式为：

，从而有

需要说明的是，采用回归方法求参数时，所依据的统计资料样本数要足够多，不然回归曲线与实际洛伦兹曲线不相符或相差较大，不能保证回顾曲线对实际洛伦兹曲线的代表性。

几何形式的优点是理解起来比较容易，基尼系数的经济含义可以一目了然，这也正是基尼系数最吸引人的地方。缺点是计算过程相当繁琐。

二、用平均差方法求解基尼系数

基尼在1912年将以（相对的或绝对的）平均差为基础的统计方法和几何方法统一起来，得出“基尼系数值总是等于相对平均差的1/2”的结论，为平均差计算方法奠定了基础。此后的统计学家继承了这一思想，发展了平均差方法。

根据平均差方法，离散的收入分布的基尼系数的计算公式为：

（）表示任何一对样本的收入的差，由于居民收入为从低到高排列，并且有，所以有，即。

平均差方法计算基尼系数在实践中有着广泛的运用，根据上面的原理首先将居民按人均收入由低到高排序，分成若干组（如分成n组，但不一定等分，如果不分组，以单个居民户或每一人为一组也可以）。其次，计算每组的人口和收入，并汇总全部收入和全部人口。第三步，计算各组人口的比重pi和该组收入占总收入的比重Ii。最后，根据上式推导出计算公式为：

上面的公式因为包含了组内人口和收入的百分比，在实践中有很强的操作性。

连续型收入分布的基尼系数计算公式可以表述为：

建立在平均差基础上的基尼系数有着非常优良的统计意义，但其计算非常复杂，因此在经济分析中使用的相对较少。

三、用协方差方法求解基尼系数

利用协方差方法，离散型收入分布的基尼系数的计算公式可以表述为：

连续型收入分布的基尼系数的计算公式为：

协方差方法的优点是可通过软件中协方差的计算程序来计算基尼系数，大大减少了手工计算量，因此在对收入分配的统计学分析中受到了欢迎。

四、用矩阵方法求解基尼系数

现有文献表明，Pyatt（1976）和Silber（1989）为了对基尼系数进行分解，提出矩阵方法。根据这种方法，基尼系数以矩阵的形式表述如下：

式中：

1.G是一个n×n矩阵，对于分量Gij，如果ij，其值为1；如果i=j，其值为0。

2.L是一个n维列向量，其分量Li表示第i个个体收入占总收入的比例，并有L1≥L2≥…Ln，即收入是按照从高到低排列的。

使用基尼系数有很多优点：（1）它能以一个数值非常方便地反映出总体收入差距状况；（2）基尼系数计算方法较多，便于利用各种资料；（3）基尼系数是国际上最流行的指标，因而常用来做收入差距的国际比较；（4）利用基尼系数便于进行分解分析，因为总收入的基尼系数 G 与其各个分项收入的关系可以写成G=（Ui×Ci），其中，Ui和Ci分别是第i项收入在总收入所占的份额和集中率。目前对居民收入分配公平与否的判断，主要是应用基尼系数的高低来衡量，而且也有国际上公认的标准，如基尼系数在0.3以下为最佳的平均状态，在0.3—0.4之间为正常状态，超过0.4为警戒状态，而达到0.6以上是两级分化，随时都有发生社会动荡的危险。

然而用基尼系数反映收入的差距状况也会有如下的缺陷：

（1）它不能反映个别阶层的收入分配情况。基尼系数值本身无法使我们了解到哪个阶层的收入份额上升或下降了多少。

（2）基尼系数对低收入阶层的收入比重的变化反应非常迟钝。比如，当从较高收入阶层转移1％的收入给较低的收入阶层时，低收入阶层的收入份额变动率一般较大，但是这一变化以基尼系数来表示时，往往变动得很小。

（3）基尼系数虽源于洛伦兹曲线图，但其计算方法却有很多，这些方法所要求的资料是不一样的，因而计算结果会有一定的差距，进而为收入差距大小的判断带来了障碍。

（4）更为重要的是，相同的基尼系数可以代表极不相同的收入分配状况，原因是洛伦兹曲线的形状不同。不同形状的洛伦兹曲线所代表的收入分配格局不尽相同，但只要它们和左下方－右上方对角线所夹面积相等，基尼系数也就没有差异。例如，当一个经济体的洛伦兹曲线呈现出左下方上升缓慢、从中部开始增加迅速的情况时，说明经济体低收入群体的收入份额较小生活相对困难，但是无法从基尼系数上反映出来。

参考文献：

[1]Graham Pyatt，1976，“On the Interpretation and Disaggregation of Gini Coefficients”，The Economic Journal，Vol.86，No.342，pp.243-255.

[2]Jacques Silber，1989，“Factor Components，Population Subgroups and the Computation of the Gini Index of Inequality”，The Review

of Economics and Statistics，Vol.71，No.1，pp.107-115.

[3]庄健，张永光.基尼系数和中等收入群体比重的关联性分析[J].数量经济技术经济研究，2007，（4）.

[4]洪兴建，李金昌.关于基尼系数若干问题的再研究——与部分学者商榷[J].数量经济技术经济研究，2006，（2）.

[5]黄泰岩，王检贵.居民收入差距测量指标体系的选择[J].当代经济研究，2000，（9）.[责任编辑 柯 黎]