分类例谈韦达定理的运用

王新艳

【摘要】韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，历来是中考命题的热点，笔者从中挑选了几道有代表性的中考试题，分类例谈它的运用.

【关键词】韦达定理；运用；中考试题オ

一、已知方程一根，求另一根及未知系数

例1 （2011·江苏镇江常州）已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2，则m=，另一个根是.

解析 设另一根为x1，由韦达定理得2+x1=-m，2·x1=-6，∴x1=-3，m=1.

总结 也可以将x=2代入原方程，先求出m的值，再求出另一根，但利用韦达定理更为简便.

二、不解方程，求与两根有关的代数式的值

例2 （2011·山东德州）若x1，x2是方程x2+x-1=0的两个根，则x21+x22=.

解析 ∵x1，x2是方程x2+x-1=0的两个根，

∴x1+x2=-1，x1·x2=-1，

∴x21+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=（-1）2-2×（-1）=1+2=3.

归纳 此类问题的关键是将所求的代数式进行恒等变形，化为含有x1+x2与x1·x2的形式，然后把x1+x2与﹛1·獂2的值整体代入计算.

三、已知两根的关系，求未知系数

例3 （2011·湖北孝感）已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.

（1）求k的取值范围；

（2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值.

解析 （1）由方程有两个实数根，可得Δ=b2-4ac=4（k-1）2-4k2≥0，解得k≤1[]2.

（2）依据题意可得x1+x2=2（k-1），由（1）可知k≤1[]2，∴2（k-1）＜0，∴-2（k-1）=k2-1，解得k1=1（舍去），k2=-3，∴k的值是-3.

归纳 将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法.注意k的取值范围（满足Δ≥0）是正确解答的关键.

四、求作一元二次方程

例4 （2002·四川达州）已知一元二次方程2x2+3x-5=0，不解方程，求作以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程.

解析 设方程的两根为x1，x2，则所求的方程的两根为1[]x1和1[]x2.

由韦达定理得x1+x2=-3[]2，x1·x2=-5[]2.

∴1[]x1+1[]x2=x1+x2[]x1x2=3[]5,1[]x1·1[]x2=1[]x1x2=-2[]5，

∴所求方程为x2-3[]5x-2[]5=0.

归纳 求作新一元二次方程，先求出新方程的两根之和p与两根之积q，则所求方程为x2-px+q=0.

五、已知两数和与两数积求这两个数（解二元二次方┏套椋┆

例5 （2005·广州）解方程组x+y=3,

xy=-10.

解析 由题意得x,y是方程z2-3z-10=0的两根，解得z1=5，z2=-2.

所以原方程组的解为x1=5,

y1=-2，x2=-2,

y2=5.

总结 如果x,y满足x+y=p，xy=q，则x，y一定是方程z2-pz+q=0的两个实数根，掌握这个结论，有时会对解题有帮助的.

六、求一元二次方程根的分布情况

例6 （2002·呼和浩特）已知方程（x-1）（x-2）=k2，其中k为实数且k≠0，不解方程证明：

（1）这个方程有两个不相等的实数根；

（2）方程的一个根＞1，另一个根＜1.

证明 （1）把（x-1）（x-2）=k2化简，得

x2-3x+2-k2=0，

∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（2-k2）=1+4k2＞0，

∴方程有两个不相等的实数根.

（2）设方程有两个根为x1和x2，

∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=2-k2-3+1=-k2.

∵k为实数且k≠0，∴-k2＜0，因此方程的一个根大于1，另一个根小于1.

总结 （1）判断一元二次方程根的情况取决于判别式Δ=b2-4ac的符号.（2）判断方程的一个根＞1，另一个根＜1，转化为（x1-1）（x2-1）＜0，是解题的关键.

韦达定理的运用十分广泛，韦达定理可以和解三角形、几何、二次函数相结合，由于篇幅局限，笔者仅仅粗浅地谈了其中的六个运用，笔者只是抛砖引玉，文中有不当之处，欢迎各位同行批评指正.