拉格朗日之前的代数方程的发展

赵增逊

【摘要】一元代数方程的发展经历了漫长的历史，有很多的数学家都对代数方程的求解作出了巨大的贡献，其中拉格朗日是比较突出的一位，拉格朗日是在广泛而认真地研究了前人工作的基础上得出了重要的代数方程求解理论.所以要想深入地了解拉格朗日工作的内涵必须清楚在其以前代数方程发展的历史.文章正是基于此，详细地分析了拉格朗日之前代数方程的发展史并介绍了三次、四次方程的求解方法.

【关键词】代数方程；拉格朗日；发展历史

【中图分类号】玁09

【文献标识码】獳オ

一、序 言

一元代数方程的发展已有四千多年的历史，从简单的一次方程到今天的群论，代数方程求解的形式和内涵都发生了巨大的变化.很多伟大的数学家都对一元代数方程的求解作出了重要的贡献，其中拉格朗日是较为突出的一位.拉格朗日对代数方程求解的主要贡献是提出辅助方程理论和用置换的思想进行方程求解，拉格朗日提出这些理论是在广泛而深入地研究了前人的工作后才得出的，所以要想清楚拉格朗日的工作、了解代数方程求解史，我们必须要知道在这之前的发展史.

二、拉格朗日之前的代数方程的发展

1.一元一次、一元二次代数方程的发展

据记载一元代数方程的历史应该从公元前2000年左右的埃及数学谈起，在莱茵德纸草书中就已经出现了一次方程，只是当时的未知数x用“堆”来表示，提出的问题相当于求解x+ax=b或者x+ax+bx=c类型的一次方程，埃及人顺利解出了此类方程，他们采用“假位法”；在纸草书中已经出现了简单的二次方程ax2=b，一元代数方程的历史从此拉开了序幕.古巴比伦的泥版书则表明，古巴比伦人已经会解一般的二次方程并给出了方程的求根公式，但由于古巴比伦人不承认负数，二次方程有负根是忽略掉的，所以他们只处理方程根为正数的情况.在欧几里得《原本》中给出了二次方程有实根的判别条件.公元200年~1200年时期的印度人已经认识到二次方程有两个根，而且可能会出现负根和无理根，他们已经会使用配方法解二次方程，但由于不承认负数有平方根（虚数），故他们并不能解所有的二次方程.尤其值得一提的是3世纪时中国著名数学家赵爽得出了x2-bx+c=0型方程的求根公式，据称这是历史上最早的二次方程求根公式的记录.公元724年左右，唐代数学家张遂曾利用求根公式求解一元二次方程，并且还发现了二次方程的根与系数关系，该成果比法国大数学家韦达对代数方程的研究要早1000年左右.阿拉伯数学家花拉子米对二次方程的求解也作出了突出的贡献，他第一次给出了二次方程的一般代数解法，并第一次给出几何证明.

到公元1000年左右人们基本上会解任何形式的一元一次、一元二次代数方程，从方法上来讲也比较多，像配方法、公式法、因式分解法等都已被人们所熟知，但由于数系的发展是缓慢于代数方程求解方法的发展，虽然当时人们会用各种方法去解方程，但当方程的根是负根或复数根时，很多数学家是不承认的.

2.一元三次、一元四次代数方程的发展

三次方程的求解更是举步维艰，直至现在仍然有很多大一的学生都不太会解三次方程.据记载最早出现三次方程是在美索不达米亚的泥版书中，他们主要解类似x3=a和x3+x2=a的三次方程，但大都是采用查表的方法解答，因为巴比伦人编有专门的立方表和立方根表及m3+n2的数值表.而真正开始尝试求解一般三次代数方程是由阿拉伯人奥马·海亚姆作出的，他于约1079年出版了《代数学》，他用圆锥曲线解三次方程，这是阿拉伯人在代数方程求解上作出的推进性贡献.至于用纯代数的方法进行一元三次代数方程求解则出现的相对较晚，以至于1494年帕乔利还曾宣称一般的一元三次代数方程不可解，然而这一宣言在六年后即被打破.1500年波罗尼亚的数学教授费罗宣布解出了x3+mx=n类型的三次方程，在他之后的塔塔利亚和卡尔达诺几乎可以解任何类型的三次方程，并且没过多久卡尔达诺的学生费拉里即宣告解答了一元四次代数方程.

到拉格朗日时期一元一次、一元二次、一元三次、一元四次方程的求解已基本上得到解决，由于一次、二次方程的解法比较固定、简单而且大家都比较熟悉，在这里就不再叙述了.自从16世纪意大利的数学家们解出了一元三次、一元四次方程，许多的数学家开始尝试各种技巧进行一元三次、一元四次代数方程求解，并试图解答五次及五次以上的方程.在这里我们有必要介绍几位数学家求解一元三次、四次方程的方法.

3.一元三次、一元四次代数方程的解法

三次方程求根公式的推广得益于卡尔达诺，是他最早公开发表三次方程的求解方法、求根公式并且几何验证了这种解法.我们不可能将卡尔达诺的原著再现，下面的过程只是展现了他解三次方程的内涵.

对于x3+ax2+bx+c=0，令y=x+a[]3，得：

y3+py+q=0.(1)

其中p=b-a2[]3，q=2a3[]27-ab[]3+c,考虑等式

(u+v)3=u3+v3+3(u+v)uv.

即（u+v)3-3(u+v)uv-(u3+v3)=0.（2）

比较（1）和（2），令y=u+v，则方程（2）变为：(u+v)3+p(u+v)+q=0，其中

p=-3uv,

q=-u3+v3.

即u3v3=-p3[]27,

u3+v3=-q.（3）

易解得（3）的根为：u3,v3=-q[]2±q[]22+p3[]27.

可得到y=3[]-q[]2+p3[]27+q2[]4+3[]-q[]2-p3[]27+q2[]4.

进而可得到原方程根x的值.

在卡尔达诺的《大法》之中也包括了费拉里求解四次方程的方法：

对于x4+ax3+bx2+cx+d=0，令y=x+a[]4，则原方程可变为：

y4+py2+qy+r=0.（4）

其中p=b-6a[]42,

q=c-a[]cb+a[]23，

r=d-a[]4c+a[]42b-3a[]44.

（4）移项，得：y4+py2=-qy-r.（5）

（5）等式左边配方，得：y2+p[]22=-qy-r+p[]22.

在左端括号内加u得：y2+p[]2+u2=-qy-r+p[]22+2uy2+pu+u2.（6）

则右端应为完全平方数，故有：

Δ=4×2up2[]4+pu+u2-r-q2=0.

即：8u3+8pu2+(2p2-8r)u-q3=0.（7）

（7）显然为可解的三次方程，解答该方程就可得到u的值.

则（6）就变为y2+p[]2+u2=2uy-q[]22u2.

ヒ虼擞衴2+p[]2+u=2uy-q[]22u.

此为二次方程很容易得到y的值，进而得到原方程的根x的值.

自此许多的数学家开始运用不同的方法进行一元三次、一元四次方程求解，其中代表人物有韦达、车恩豪斯、欧拉、贝祖等.但真正开始将一元三次、一元四次方程作为一类问题进行处理，试图寻找一种统一的解法的是车恩豪斯.车恩豪斯认真分析前人解一元三次、一元四次方程的各种方法，由此提出了自己独特的解代数方程的方法，他通过消去方程的中间项，使方程变为只有最高次项和常数项的二项方程，而此二项方程是很容易得出其根的，进而原方程的根就可以求得.贝祖和欧拉解三次、四次方程的方法只是车恩豪斯方法的特例而已，车恩豪斯解三次、四次方程的方法并没有卡尔达诺等人的简单，但这种方法更直接、更一般，有利于研究更高次的方程的求解.

三、结 语

从细节上来讲解答一元三次、一元四次方程的方法还不止这些，但正如拉格朗日所说：通过分析我们明白一切方法的基础都是一样的，因此所达到的结果是必然相同的.因此一元代数方程的求解进入了困境，一元三次、一元四次方程的求解已经彻底解决，并且方法也丰富多样，遗憾的是无论是采用特殊的技巧还是试图用一种一般的、通用的方法都没有能解答出五次及五次以上的方程，或者说将已知的方法推广到五次及五次以上方程上去，法国伟大的数学家拉格朗日出场了，正是因为有前面这些数学家的辛勤工作才使得拉格朗日提出了新的理论进行代数方程求解，所以研究前人的工作有利于我们深入了解整个代数方程求解历史.