关于一阶微分方程各类解法的研究

王晓玲

一、一阶微分方程类型

一个微分方程，首先应掌握方程类型的判别，因为不同类型的方程有不同的解法，同一个方程也可能属于多种不同的类型，同时也有多种不同的解法，我们则应该选择较易求解的方法.对于一阶微分方程，通常可按照可分离变量的方程、一阶线性方程、齐次方程的顺序进行.

一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y′)=0或y′=f(x,y).

其中最基本的类型是变量可分离的方程和一阶线性方程，而齐次方程可通过变量替换也可转化为变量可分离的方程.

二、一阶微分方程变量可分离类型解法

1.一般变量可分离方程

一般的，如果一个一阶微分方程能写成g(y)玠珁=ゝ(x)玠玿 （1）

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含有y的函数和玠珁，另一端只含有x的函数和玠玿，那么原方程就称为可分离变量的微分方程.假定方程（1）中的函数ゞ(y)和f(x)是连续的，设y=h(x)是方程（1）的解，将它代入到（1）中得到恒等式

g［h(x)］h′(x)玠玿=f(x)玠玿.

将上式两端积分，并由y=h(x)引进变量y，得

А襣(y)玠珁=∫f(x)玠玿.И

设G（y）及F（x）依次为g(y)和f(x)的原函数，于是有

G（y）=F(x)+C.（2）

因此，方程（1）的解满足关系（2）.反之，如果y=H（x）是由关系式（2）所确定的隐函数，那么在g(y)≠0的条件下，y=H(x)也是方程（1）的解，事实上，由隐函数的求导法可知，当g(y)≠0时，

H′(x)=F′(x)[]G′(y)=f(x)[]g(y).

这就表示函数y=H(x)满足方程（1）.所以，如果已分离变量的方程（1）中，g(y)和f(x)是连续的，且g(y)≠0,那么（1）式两端积分后得到的关系式（2）就用隐式给出了方程（1）的解，（2）式就叫做微分方程（1）的隐式解.又由于关系式（2）中含有任意常数，因此（2）式所确定的隐函数是方程（1）的通解，所以（2）式叫作微分方程（1）的隐式通解.

2.齐次方程

如果一阶微分方程可化成玠珁[]玠玿=hy[]x的形式，那么就称为这样的方程为齐次方程.

在齐次方程玠珁[]玠玿=hy[]x中，引进新的未知数u=y[]x，就可以把它转化为可分离变量的方程求解，然后把u代回，便得所给齐次方程的通解.

三、一阶线性方程类型的解法

方程玠珁[]玠玿+p(x)y=q(x) （3）

叫做一阶线性微分方程，因为它对于位置函数y及其导数是一次方程.如果q(x)=0,则方程称为齐次的；如果不等于零，则称为非齐次的.

1.积分因子法

将上面一阶线性方程的两边同时乘以积分因子

u=e∫p(x)玠玿.

则上式改写为e∫p(x)玠玿y′=q(x)e∫p(x)玠玿.

积分便可得到通解方程为

ye∫p(x)玠玿=А要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C.

2.公式法

此方法过于固定，适用场合有限，有时需要自己分析处理转换后方可应用.根据非齐次方程的通解公式为

y=e-∫p(x)玠玿ИА要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C，

相应的齐次方程的通解为y=Ce-∫p(x)玠玿.

将相应的函数和数值带入，即可得到方程的通解.

3.常数变易法

常数变易法是解一阶线性方程常用的方法，先用分离变量法求相应的齐次方程的通解为

y=Ce-∫p(x)玠玿.（4）

然后将C换成ｘ的未知函数ｕ（ｘ），即作变换

y=ue-∫p(x)玠玿В则玠珁[]玠玿=u′e-∫p(x)玠玿-up(x)e-∫p(x)玠玿.

将上式都带入原式（3），得

u′e-∫p(x)玠玿-up(x)e-∫p(x)玠玿+p(x)ue-∫p(x)玠玿=q(x).ゼ磚′e-∫p(x)玠玿=q(x),u′=q(x)e∫p(x)玠玿.

两端积分，得u=А要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C.

将此式代回（4）式，即得到非齐次线性方程的通解为

y=e-∫p(x)玠玿ИА要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C.

改为两项之和形式y=e-∫p(x)玠玿ИА要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+e-∫p(x)玠玿C.

由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.

四、变量交换型的解法

当一阶微分方程的形式如下

玠珁[]玠玿=h(y)[]p(y)x+q(y).

则可通过改变自变量和因变量的方式来求解微分方程，交换后得

玠玿[]玠珁=p(y)[]h(y)x+q(y)[]h(y).

这可以看作以ｙ为自变量，ｘ为因变量的一阶线性方程，然后再用上面介绍的方法即可求出方程的通解.

5.结束语

本文介绍一些一阶微分方程各类解法的研究.文章开始我们主要介绍几类一阶微分方程类型，主要基本的类型是变量可分离的方程和一阶线性方程两种，然后分别对两种类型方程的求解作了详细叙述.其中变量交换型是属于特殊类型，不怎么常见但方法比较固定.希望本文对一阶微分方程解法的研究，对以后人们成功解决一阶微分方程问题起到一个很大的帮助.