把握实质是解题的关键

张本霖

一、问题提出

时下正值高三数学复习阶段，在一次复习课上，笔者给学生出了下列的一道试题，供学生思考.一方面是巩固所学习的知识点的应用，另一方面是考查学生处理问题的能力.但通过学生的练习来看，却是波澜而曲折.

二、课堂实录

题目：在数列{a璶}中，a1=0，且对任意k∈N*,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k，求数列{a璶}的通项公式.

教师：前几节课，我们已经复习过数列的定义、相关性质和由递推关系求数列的通项公式.下面请大家分组讨论一下，然后派代表来介绍你是如何解决这个问题的.

1.学生解法实录

组1 解 由条件a2k-a2k-1=2k,a2k+1-a2k=2k,k∈N*，

由a1=0得a2=2,a3=4,a4=8,a5=12,a6=18,a7=24,a8=32……

各项特点：a1=1×0+0=0,a3=3×1+1=4,a5=5×2+2=12……,

a2=2×1,a4=4×2,a6=6×3……

猜想a璶=n×n-1[]2+n-1[]2=n2-1[]2,n为奇数；a璶=n×n[]2=n2[]2,n为偶数.

组2 解 由题意a2k+1-a2k=2k,k∈N*，由累加法

a2k+1=（a2k+1-a2k)+(a2k-a2k-1)+(a2k-1-a2k-2)+…+(a2-a1)+a1=2k+(2k-1)+(2k-2)+…+1+0=2k+1[]2×2k=2k2+k.令n=2k+1，则k=n-1[]2,∴a璶=2×n-1[]22+n-1[]2=n2-n[]2,n为奇数.

同理，由a2k-a2k-1=2k,k∈N*，可得a2k=2k2+k-1.

令n=2k，则k=n[]2,∴a璶=n2+n-2[]2,n为偶数.

组3 解 由条件a2k-a2k-1=2k，k∈N*,由累加法

a2k=(a2k-a2k-1)+(a2k-1-a2k-2)+(a2k-2-a2k-3)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2k+2k-1[]2+2（k-1)+2k-3[]2+…+2×2+2×3[]2+2×1+0=2×(1+k)［k+(k-1)］[]2=2k2+k-1.

令n=2k，∴a璶=n2+n-2[]2,n为偶数；同理，可得a璶=n2-n[]2，n为奇数.

2.解法探究

看到学生在黑板上的内容，再巡视其他同学所做情况，对的更是寥寥无几.笔者不禁战栗，但却不露声色，看学生到底能有所发现.

师：我们来逐一看看大家所做的情况.对组1同学的做法赞同吗？

生1：有，猜想.他是通过列举了数列的前几项来发现项的规律，从而得到通项公式.但这种做法不具有普遍性和严密性.再者，对于解答题来说更是不适合，填空题可以去尝试.

师：很好！该方法只能是简单的猜想，从解决问题的逻辑角度来讲的确存在问题.

师：大家来看组2和组3，答案一样，看来他们做得没有问题了吧？

生2：组2的做法不对.由题意知a2k+1-a2k=2k,k∈N*，组2代表认为a2k-a2k-1=2k-1,k∈N*，这与a2k-a2k-1=2k,k∈N*相矛盾了.他误认为等式的右端与等式第二项的下标一致了.（课堂上不少同学若有所悟，点头称是）

生3：（迫不及待的）组3的做法也有问题.

师：哦，说说看.

生3：组3代表由a2k-a2k-1=2k,k∈N*得到a2k-1-a2k-2=2k-1[]2,k∈N*，显然出现了问题，他将下标中的k变为k-1[]2，很明显k∈N*，而k-1[]2麼*，所以错了.（全班同学一致称赞）

3.问题的实质

本题到底考查了学生什么？表面看是求通项，实际上学生要想顺利的解决问题，必须要对数列的概念、等差数列的性质和递推法求数列通项要有很深的理解，真正明白每个知识点的实质性应用.学生正是对这些知识不够了解才出现了像上述的“猜”和公式的运用不当等问题.下面是笔者对本题的几种简略解法，供大家参考.

方法一 解 由题意a2k+1-a2k=2k,k∈N*，

∴a2k+1=(a2k+1-a2k)+(a2k-a2k-1)+(a2k-1-a2k-2)+…+(a2-a1)+a1=2k+2k+2(k-1)+2(k-1)+…+2×1+2×1=2k2+2k.

从而a2k=a2k+1-2k=2k2,k∈N*.

令n=2k+1,则k=n-1[]2,∴a璶=2×n-1[]22+2×n-1[]2=n2-1[]2.

再令n=2k,则k=n[]2,∴a璶=n2[]2.

综上可得a璶=n2-1[]2,n为奇数,

n2[]2,n为偶数.

方法二 解 由题意a2k-a2k-1=2k,k∈N*,

∴a2k=(a2k-a2k-1)+(a2k-1-a2k-2)+(a2k-2-a2k-3)+…+(a2-a1)+a1=2k+2(k-1)+2(k-1)+2(k-2)+…+2×1+2×1=2k2.

从而a2k+1=a2k+2k=2k2+2k,k∈N*.下面解法同一.

方法三 解 由题意a2k+1-a2k-1=4k,k∈N*,

∴a2k+1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+(a2k-3-a2k-5)+…+(a3-a1)+a1=4k+4(k-1)+4(k-2)+…+4×1=2k2+2k.

从而a2k=a2k+1-2k=2k2,k∈N*.下面解法同一.

三、课堂反思

本节课学生经历了从模糊到清晰的全过程，从教学情况来看，也算是完成了教学任务，学生也达到了对问题的解决，但笔者在教后反思中却久久不能平静.应该说，本题涉及的仅仅是一个简单的知识点——用累加法求解数列的通项公式，但学生所暴露出的问题却是很多：对概念的理解，相关量的特点和性质，知识点应用的熟练程度，以及分析和解决问题的能力都有待进一步的提高.可以说，学生对相关知识的实质未能够把握，只是为了解题而解题，忽略了知识应用的可行性和灵活性，这些都是需要在今后的教学中和学生共同解决的问题.