有效参与 精彩演绎

熊青厚

1.课例背景

时常听数学课，有种“赶”的感觉，一道题目刚出示，便催着学生说思路，有时学生连题目都没看清，就提问怎样解答，老师总想在有限的一节课里多讲一些题，更想让学生多练一些题，总觉着一节课时间太短，生怕课堂计划完不成，老师教得辛苦，学生听得痛苦.在一次备课组内的教研活动中，笔者想做一些尝试，一节复习课只讲了一道题，通过课前的精心预设，课堂上师生的积极参与和有效互动，觉得比起多讲几题，然后强化训练效果要好，课后备课组进行了认真的讨论，资深老师作了详细点评，本节课的成败得失渐渐清晰明了.在各位老师的帮助下，我又对这节课做了及时的反思，有了些许感悟.现收录如下，进一步求教于专家和同行.

2.课堂简录

师：前面我们学习了和、差、倍、半的三角函数公式，也补讲了万能公式，这节课，我们对这些内容进行复习，请思考下面一题的证法.（教师出示题目）

题 求证：1+玸in4θ-玞os4θ[]2玹anθ=1+玸in4θ+玞os4θ[]1-玹an2θ.

三分钟后，叫第一名学生回答.

生1：我用了“1”的代换及倍角的正、余弦公式.

证1 左=玸in2θ+玞os2θ+2玸in2θ·玞os2θ-(玞os22θ-玸in22θ)[]2玹anθ,做不下去了！

师：能想到“1”的代换及倍角的正、余弦公式，很不错，可惜没有做出来，大家能否帮帮他？

见没有响应，老师只好请了生2.

生2：我觉得生1的变形有些盲目，按他的思路我也不知该怎样做下去，我的思路是这样的.生2迫不及待地说出了证2.

证2 原式等价于1+玸in4θ-玞os4θ[]1+玸in4θ+玞os4θ=2玹anθ[]1-玹an2θ=玹an2θ.プ蟊=1-(1-2玸in22θ)+2玸in2θ·玞os2θ[]1+(2玞os22θ-1)+2玸in2θ·玞os2θ=2玸in2θ(玸in2θ+玞os2θ)[]2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ)=玹an2θ.

师：很好！先将要证的等式合理变形，不失为一种巧思妙想，看来见“1”找余弦还是深入人心的嘛！（生笑）同学们还有没有其他证法？

生3：我将所证式子两边分别变形，注意异名化同名，正切化正、余弦就可以了.

证3 左=1+玸in4θ-(1-2玸in22θ)[]2玸inθ[]玞osθ=2玸in2θ(玸in2θ+玞os2θ)[]2玸inθ[]玞osθ=2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ).

右=1+2玸in2θ玞os2θ+(2玞os22θ-1)[]1-玹an2θ=2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ)[]玞os2θ[]玞os2θ=2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ)，

所以原式成立.

师：说得好，“异名化同名，异角化同角”这种求同意识很重要.证法3与证法2有什么联系?

生众:所用公式基本相同，还是证2简单些.

师：看来合理变形是必要的.有没有其他的变形方式呢？

生4举起了手，给出了证法4.

证4 原式等价于(1+玸in4θ-玞os4θ)(1-玹an2θ)=(1+玸in4θ+玞os4θ)·2玹anθ.

上式左=2玸in2θ(玸in2θ+玞os2θ)·玞os2θ[]玞os2θ=玸in4θ(玸in2θ+玞os2θ)[]玞os2θ,

右=2玞os2θ(玸in2θ+玞os2θ)·2玸inθ[]玞osθ=玸in4θ(玸in2θ+玞os2θ)[]玞os2θ，ニ以原式成立.

师：大家思路很活跃，已经想出了好几种证法.回过头我们再看看，生1的思路真的行不通吗？

生5：我觉得生1的思路没问题.可以这样做：

证5 左=(玸in2θ+玞os2θ)2-(玞os22θ-玸in22θ)[]2玹anθ=(玸in2θ+玞os2θ)·2玸in2θ[]2玸inθ[]玞osθ.以下同证3.

师：非常好，我们在进行“1”的代换时，要选择合适的角.

3.反思与感悟

（1）关于习题课的授课模式和课堂容量.一般情况下，按照知识点回顾、典型例题讲解、练习巩固三步进行，为了赶进度，完成教学计划，追求课堂容量，往往不能给学生足够的思考问题的时间，学生由老师牵着走，老师掌控全局，学生的思路稍有出入，便会被老师生拉硬拽回既定轨道，以最大限度地节约教学时间.这样的课堂模式化太浓，学生不能自由发挥，不能充分调动学生的积极性，不能凸显学生的主体地位.放手让学生自由思考，自由发挥，尽管费时，但学生在实实在在的探索中深刻领悟知识的来龙去脉，体验发现和探索的成功与快乐，优化了学生的思维品质.我们实在没必要在乎一节习题课到底讲了几道题，做了多少巩固性练习！

（2）解法多多益善吗？有经验的数学教师大多都有一题多解、一题多变、一题多用、多题一解的意识和追求，但须要考虑学生的实际与接受水平，不能为变而变，“变”的目的或为了知识的融会贯通，或为了概念对比辨析，或为了开阔学生视野，训练学生的发散性思维，或为了数学思想方法的领会.总之，不能盲目追求方法的多样化，一题多解后应对方法进行比较与优化，从中筛选出自然简捷的方法，为后续解题做好储备.本节课在方法的提炼、合并与归纳方面做得不够，受到了备课组老师的批评.我想，今后备课、授课必须冷静地、深入细致地思考这一问题.

（3） 数学课堂应是真实的、自然的、从容的、美好的.教无定法，贵在得法.教学过程中充分尊重学生的劳动和思维习惯，教学过程顺乎自然，不做刻意雕琢，真实地展现学生的疑惑、老师的启发与点评、学生的兴奋状态、课堂的有效生成情况，没有此起彼落的阵阵掌声和虚假的热闹场景，同样可以强烈地感受到生动鲜活的课堂氛围和学生的火热思考.真实是美好的生命底色，真实给人以亲近之感，尤其在讲解的过程中，非常关注不同学生的思维层次，在通性通法的基础上展示学生的巧思妙解，点评力求恰到好处且有针对性，不浮夸、不掩饰，表扬与批评真情流露，让成功者满心欢心，让失败者也心情舒坦.打造和谐灵动的、火花四溅的数学课堂，应是我们努力的方向！

（4）既重视课前精心预设，更关注课堂有效生成.教师备课主要备什么？备教材、备大纲、备学情.任何脱离学生实际的教学设计都是徒劳的，任何超越学生思维“最近发展区”津津有味的讲解都是无效的.从教学方面讲，要强调精心预设，课前尽可能预计和考虑学生学习活动的各种可能性，减少低水平和可预知的“生成”，激发高水平和精彩的生成.恰当地抓住生成的时机和资源，能够更大程度地提高教学的有效性.当学生被激发起“兴奋”的学习状态而发表精彩的观点时，当学生出现理解或误解的“错误”时，当师生互动中学生“随机”冒出精彩火花时，当学生的表情出现“细微”的变化时，当教师设身处地地“换位”思考时，都是意外生成资源利用的大好时机.力争使课堂教学因预设而有序，因生成而精彩！