高三导数复习的几点想法

朱加俊

导数问题是高中数学的一个重要组成部分，近几年各省市的高考中，导数成为一个必考内容，占到总分值的10%左右.从难易程度看，各省市高考中，填空题以中档为主，而解答题处于压轴题的位置，综合性较强，难度也比较大.

江苏“课程标准”中对导数部分的要求是：一、了解导数的概念及几何意义；二、理解导数的定义，了解函数的单调性与导数的关系，包括求函数的极值、单调区间及判定函数的单调性等；三、导数在实际生活中的应用.根据课程标准要求及本人在教学中了解的学生的学习情况，提出在复习过程中的几点想法：

一、注重导数的几何意义

导数的几何意义是高考涉及导数知识时经常考查的一个知识点，如求切线的斜率、求切线的方程等，难点在于对其几何意义的正确理解.

例1 （2008江苏8）直线y=1[]2x+b是曲线y=玪n玿(x>0)的一条切线，则实数b＝.

解析 求曲线的切线（包括给出的点在或不在已知曲线上两类情况）为主要内容，求切线方程的难点在于分清“过点(x0,y0)的切线”与“点(x0,y0)处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里：在过点(x0,y0)的切线中，点(x0,y0)不一定是切点，点(x0,y0)也不一定不在切线上；而点(x0,y0)处的切线，必以点(x0,y0)为切点，则此时切线的方程才是y-y0=f′(x0)(x-x0).求切线方程的常见方法有：①数形结合.②将直线方程代入曲线方程利用判别式.③利用导数的几何意义.

二、强化导数的基本运算及简单应用

导数的基本运算是导数应用（单调性、极值、最值）的基础，是高考重点考查的对象，考查的方式以填空题为主.

例2 （2009江苏3）函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为.

解析 对于导数的复习，应该立足基础知识和基本方法，应注意以下几点：

（1）在求导过程中要紧扣求导法则，联系基本函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要注意适当恒等变形.（2）用导数法研究函数的单调性、极值及最值时要特别注意函数的定义域，因为一个函数的导数的定义域可能和这个函数的定义域不相同.（3）近年高考中经常出现以三次函数为背景的问题，复习中应加以重视.

三、加强利用导数研究函数性质问题的研究

运用导数的有关知识，研究函数的性质是历年高考的热点问题.高考试题常以解答题形式出现，主要考查利用导数为工具解决函数、方程及不等式有关的综合问题，题目较难.

例3 （2011江苏19）已知a，b是实数，函数f(x)=﹛3+猘x,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分别是f(x),g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间Ⅰ上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间Ⅰ上单调性一致.

（1）设a>0，若函数f(x)和g(x)在区间［-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设a<0且a≠b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.

解析 这类问题常常涉及求函数解析式、求参数值或取值范围问题.解决极值、极值点问题转化为研究函数的单调性，参数的取值范围转化为解不等式的问题，有时须要借助于方程的理论来解决，从而达到考查函数与方程、分类与整合的数学思想.

四、运用导数解决实际问题

近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力.实际应用问题的考查将是高考的又一热点.

例4 （2010江苏）将边长为1 玬的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长）2[]梯形的面积,则S的最小值是.

解析 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的教学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）.

通过以上考点回顾和热点分析，我们在导数的复习备考中须要注意以下几个问题：

1.要把导数的复习放在函数大背景下来复习.同时注意定义域优先、函数方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、恒不等式问题常见处理方法，等等.

2.要用好导数工具.要对已知函数进行正确求导，特别注意的是分式、对数式、复合函数的求导，一定要对求导的结果进行演算之后再进行下一步的运算.

3.要重视常见初等函数性质的研究，特别是二次函数.一个问题利用导数求解之后，一定转化为常见的初等函数，求导之后的函数以二次函数型居多，要不也是局部是二次型，其他部分的因式符号是固定的，所以要研究好常见如二次函数、类反比例反数、对号函数等函数的性质，为导数题的深化解题奠定基础.

4.拓展导数应用的范围.例如求曲线的切线拓展到求圆锥曲线的切线，在用导数求圆锥曲线切线时，要注意将方程转化为两个分段函数的形式.通常近几年涉及这样的问题以二次函数型抛物线方程居多.