数学难题解题技巧的分类教学

李明树

【摘要】每年初中数学中考，一般把试题分为基础题、中档题及难题.放眼中考数学几年来的命题趋势，不难发现难题的组成不过是简单基础题的组合，在其中如何更好地衔接每一个知识点是突破难题的关键，所以，在教学中既需要学生通过总结知识和考题思路，也要求教学队伍对解题技巧和命题趋势进行透彻分析，以求在中考数学中取得理想成绩.

【关键词】解题技巧；综合分析；把握问题实质オ

一、如何应对中考数学难题

纵观中考数学试题整体，其难点在于最后的压轴题，在保证各个题型的基础题拿分的情况下，最后的压分题成为了考生拉开分数及档次的关键题.总的来说，最后的考题既灵活又贴近知识点，就像一层窗户纸一样，捅破了就很容易拿分，如果在知识点上无法得到很好的分析也就没有了突破口，徘徊在试题之外是很多考生遇到的解题瓶颈.所以，数学的难题就是把知识点汇总到一起，把这些知识点分解开来问题就变得容易了.

二、中考数学难题之实战技巧

做一道题时，先按照“常规出牌”方式，就是基本的解题思路来思考，如果遇到难题，还是把题目分解开来.

如：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 玞m,BC=26 玞m，动点M从A开始沿AD边以1 玞m/s的速度运动，动点N从点C开始沿CB边向B以3 玞m/s的速度运动，M，N分别从A，C同时出发，当其中一个点到达端点时，另一点也随之停止运动，该运动时间为t 玸，问题为：当t分别为何值时四边形MDNB为等腰梯形？

这道题属于中度偏难的题型，学习成绩在中等水平的学生都可以解答出来.怎样分解这道题？首先，得了解什么是梯形及它的性质，能使用哪些辅助线；其次，通过已知的条件作两条高，得出两个全等的等腰三角形和一个矩形；最后，再利用矩形的对边相等解决这道题.

在做题时，学生要学会把同一类型的题归为一类，逐渐形成一套自己的解题思路，学会举一反三，这样难题就迎刃而解了.

随着新课改的实施，中考命题趋势逐步削弱了对传统数学问题的单纯考查，试题情境一般存在开放性、探索性、操作性(平移、旋转、翻折)，许多问题是以发现、猜测和探究为主线的新式题型.下面我们谈谈近几年中考的热点问┨狻—图形变换.

图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四大变换，近年全国各地的中考数学试题出现了不少有关图形变换的试题.作为新增加的内容，图形与变换对于培养同学们空间观念、拓展几何的活动视野和研究途径，都具有其他内容无法替代的作用，因而，图形与变换在近年来的中考数学试题中占有较大的比重.

旋转问题要明确旋转的三要素：旋转中心(绕着哪个点)、旋转方向(顺时针、逆时针)、旋转角度.除此之外，还要始终把握旋转的性质：

1.对应点到旋转中心的距离相等.2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前、后的图形全等(旋转前后两图形的对应线段、对应角分别相等).旋转问题可归结为点的旋转、线段的旋转和图形(一般为三角形)的旋转.在旋转问题中往往将陌生问题转化为我们熟知的三角形问题去解决，即要去寻找或构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形等，将题目由繁化简.

图 1例1 如图1，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于.

分析 此题是对勾股定理、等腰直角三角形和旋转的性质综合运用能力的考查.

∵旋转前后图形全等，

∴由△ADE顺时针旋转90°后得△ABE′可知，

△ADE≌△ABE′，即AE′=AE.

∴△AE′E为等腰直角三角形.

∴AE′∶AE∶E′E=1∶1∶2，在玆t△ADE中，由勾股定理可知AE=10，故EE′=25.

三、把握综合分析能力

数学中考试题的命题者的命题目的是考查我们初中毕业的学生对初中数学基础知识的掌握情况，试题当然都离不开初中的基础知识.所谓难题，只是笼上几层面纱，使我们不容易看到它的真面目.我们教师的任务就是教会我们的学生去揭开那些看起来神秘的面纱，把握它的真面目.

对难题进行分类专题复习时，应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练以及引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上，并从中培养学生解题的直觉思维.应当先把难题进行分类，然后进行分类训练.在课堂上不必每题都要学生详细写出解题过程，一类题目写一两题就行了，其他只要求学生能较快地写出解题思路，回去再写出.一般可以将中考中的难题分以下几类进行专题复习：

第一类 综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题.

这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法，运用一些数学思想和方法以及一定的解题技巧来解答.

例2 在△ABC中，点I是内心，直线BI，CI交AC，AB于D，E.已知ID=IE.求证：∠ABC=∠BCA，或∠A=60°.

教学点拨 本题要运用分析与综合的方法，从条件与结论两个方向去分析.从条件分析，由ID=IE及I是内心，可以推出△AID和△AIE是两边一对角对应相等，有两种可能：AD=AE或AD≠AE，

从这可以推得∠ADI与∠AEI的关系.从结论分析，要证明题目结论，需要找出∠ABC与∠ACB的关系，∠ADI=1[]2∠ABC+∠ACB，而∠AEI=1[]2∠ACB+∠ABC.从条件和结论两个方面分析，只要找出∠AEI与∠ADI的关系就可以证明本题.

证明 连接AI，在△AID和△AIE中，AD与AE的大小有两种可能情形：AD=AE，或AD≠AE.

（1）如果AD=AE，则△AID≌△AIE，有∠ADI=∠AEI.

而∠ADI=1[]2∠ABC+∠ACB，∠AEI=1[]2∠ACB+∠ABC.

ァ1[]2∠ABC+∠ACB=1[]2∠ACB+∠ABC.

即∠ABC=∠ACB.

（2）如果AD≠AE，则设AD>AE，在AD上截取AE′=AE，连接IE′,则△AIE′≌△AIE.

∴∠AE′I=∠AEI,IE′=IE=ID.

∴△IDE′为等腰三角形，

则有∠E′DI=∠DE′I.

∵∠AE′I+∠DE′I=180°，

∴∠AEI+∠AIE=180°.

∴1[]2∠ACB+∠ABC+1[]2∠ABC+∠ACB=180°.

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠A=180°－120°=60°.

如果AD

第二类 开放性、探索性数学难题.

无论是开放性还是探索性的数学难题，教学重点是教会学生把握问题的关键.

例3 请写出一个图像只经过二、三、四象限的二次函数的解析式.

教学点拨 二次函数的图像只经过二、三、四象限，就是不能经过第一象限，即当x>0时，y<0.什么样的解析式的二次函数必有x>0时，y<0呢？这是问题的核心.

（答案：当二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c都为负数时，必有x>0时，y<0，如y=-x2-2x-3.）

四、揣摩问题实质

中考题型再新也离不开初中的基础知识，所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识，然后，运用与之相关的基础知识，通过分析、综合、比较、联想，找到解决问题的办法.

例4 电脑獵PU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割时的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”.现为了生产某种獵PU芯片，需长、宽都是1 玞m的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 玞m.问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.（不计切割损耗）

教学引导 本题人人会入手做，但要按一定的顺序切割才能得到正确答案.

方法 （1）先把10个小正方形排成一排，

看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05 玞m的圆内，如图中矩形ABCD.

∵AB=1，BC=10，

∴对角线AC=12+102=1+100=101<10.052.

（2）在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小的正方形.

这样新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可以看成矩形EFGH，其长为9，高为3，对角线EG2=92+32=81+9=90<10.052.但新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为102+32=100+9>10.052.

（3）同理，∵82+52=64+25=89<10.052，而92+52=81+25=106>10.052，所以，可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有5层.

（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个.

∵72+72=49+49=98<10.052，而82+72=64+49=113>10.052.

（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看作是9，每排可以是4个，但不能是5个.

∵42+92=16+81=97<10.052，而52+92=25+81=106>10.052.

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5 玞m的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下1个小正方形了.

所以，10+2×9+2×8+2×7+2×4=66（个）.

评议 本题解题的关键是：①一排一排地放小正方形，②利用圆的内接矩形的对角线就是圆的直径的知识.

在难题的教学中，我们不能只把结论告诉学生，更重要的是要让学生知道解题的思维方式，我们不要急于把题目的解法告诉学生，应当引导学生自己去解题.

结语 中考数学的教学关键在于抓住解题思路，紧跟命题趋势，善于分析问题，把握问题实质.在众多难题中我们不难发现，难题的组成离不开基础知识的组合衔接，所以，掌握基础知识，善于运用基础知识达到举一反三成为解开各种难题的钥匙.很多开放性试题成为今年考试中的主流，但实质上万变不离其宗，其内在贯穿的知识点也无非是平时学生们要掌握的基本要点和技巧.同时，在平时的教学中，为学生拨开云雾，引导学生自我分析.这样，更有针对性，更有条理地分析问题，解决难题，使思路更明晰，考试更轻松.

【参考文献】オ

［1］薛金星.初中数学——解题方法与技巧［M］.北京：北京教育出版社，2010.

［2］王金战.中考数学难题破解策略［M］.南京：南京大学出版社.2011.

［3］左传波.动态解析中考数学压轴题［M］.上海：科学出版社，2011.

［4］佘宁.举一反三解题经典［M］.上海：上海科技教育出版社，2006.

［5］马飞.初中数学学习方法宝典［M］.北京：金盾出版社，2007.