浅析赋值法在二项式定理中的应用

王选

二项式定理是历年高考的必考内容之一，而用赋值法求二项展开式的系数和又是其重点考查的方向.但不少学生采用死记硬背的方式记忆赋值法，认为不管是什么题只要对x赋值-1、0、1就可以解决所有问题，当题目稍作修改就感觉无从下手，不知如何赋值.究其原因，关键是对赋值法的目的性不明确，不知为何这样赋值.针对这一情况，我通过几道例题来探讨下如何在二项式定理中用好赋值法.

一、用赋值法解决二项式系数的有关问题

例1.已知（1-3x）=a+ax+ax+…+ax，求值：

（1）a+a+a+…+a；（2）|a|+|a|+|a|+…+|a|；（3）a+a+a+a+a.

分析：此题是利用二项展开式求有关系数的问题，可以用赋值法令x=1得所有系数之和，令x=-1可得奇数项的系数与偶数项的系数之间的关系，即f（-1）=（a+a+a+a+a）-（a+a+a+a+a）.

解：（1）设f（x）=（1-3x）=a+ax+ax+…+ax

令x=1，得：a+a+a+…+a=-2.

（2）在（1-3x）=a+ax+ax+…+ax中，a，a，…，a为正数，a，a，…，a为负数，

则|a|+|a|+|a|+…+|a|=（a+a+a+a+a）-（a+a+a+a+a）=f（-1）=4.

（3）由（1）（2）可得a+a+a+a+a=［f（1）+f（-1）］=（4-2）.

二、与构造法相结合的赋值

例2.若（x+1）（2x+1）=a+a（x+2）+a（x+2）+…+a（x+2），求a+a+a+…+a的值.

分析：上式右边是有关a，a，a，…，a的式子，只是多了x+2这一因式，若令x+2=1，右式即为所求.

解：令x+2=1，即x=-1，原等式可化为

［（-1）+1］（-2+1）=a+a+a+…+a

所以a+a+a+…+a=-2.

例3.若（2x+3）=a+a（x+2）+a（x+2）+a（x+2），求a+a+2a+4a.

分析：乍一看，此题a，a，a，a系数各不相同，用赋值法貌似很难处理，但如果将上式拆分成a，a+2a+4a两部分.令x+2=0，a易求得；而a，a，a的系数分别为1、2、4，刚好成等比数列，且公比为2，只需令x+2=2即可解决这一问题。

解：令x+2=0，即x=-2，可得a=-1

令x+2=2，即x=0，可得27=a+2a+4a+8a

从而2a+4a+8a=28

即a+2a+4a=14

所以a+a+2a+4a=-1+14=13

三、综合应用

例4.若（1-2x）=a+ax+ax+…+ax（x∈R）

求（1）+++…+

（2）a+2a+3a+…+2012a

分析：（1）观察待求式，可将其化为a（）+a（）+a（）+…+a（），只需在原式中令x=即可，另外a可令x=0求得.

（2）所求式中各项系数分别为1，2，3，…，2012，与原等式中x的次数刚好一致，而（x）′=nx，所以可对原等式先求导再赋值.

解：（1）令x=，则0=a++++…+

令x=0，可得1=a

所以+++…+=-1

（2）对原等式左右两边同时关于x求导，可得：

［（1-2x）］=0+a+2ax+3ax+…+2012ax

即-4024（1-2x）=0+a+2ax+3ax+…+2012ax

令x=可得：a+2a+3a+…+2012a=4024

点评：求展开式系数和或有关展开式系数和一个非常有效的方法是赋值法．在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系.如何赋值，要是具体情况而定，没有一成不变的规律，灵活性较强.一般的，多项式f（x）的各项系数和为f（1），奇次项系数和为［f（1）-f（-1）］，偶次项系数和为［f（1）+f（-1）］；对于有些展开式要对关于x的因式赋值，要注意观察；另外在赋值法中正确使用构造法，结合函数相关性质，可以在求解二项式问题时能收到事半功倍的效果.