低密度格码在OFDM系统中的应用与性能仿真✴

顾伟，朱联祥（重庆邮电大学信号与信息处理重点实验室，重庆400065）

低密度格码在OFDM系统中的应用与性能仿真✴

顾伟，朱联祥
（重庆邮电大学信号与信息处理重点实验室，重庆400065）

信道编码是OFDM系统的关键技术之一，低密度格码（Low Density Lattice Codes，LDLC）则是一种能高效译码且达到AWGN信道容量的新型编码技术，它兼具格码和低密度奇偶校验码（Low Density Parity Codes，LDPC）的特点。基于LDLC码编译码原理，给出了LDLC码作为前向纠错编码技术应用于OFDM系统的方案，在MATLAB平台下仿真研究了LDLC-OFDM系统在Rayleigh衰落信道下的性能，结果表明LDLC码很大程度地改善了OFDM系统的误码率性能，且优于LDPC码。

正交频分复用；信道编码；低密度格码；瑞利衰落

1 引言

寻找某种能取得接近（最终达到）香农容量极限的可靠通信的信道编码方案一直是编码界的重要目标。格码是线性码在欧氏空间里的类似码，它被建议作为加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道上的高效码［1-2］。AWGN信道上实用的码字通常是基于有限字符编码，为找到一种具有高效编、解码方案的实用格码，Naftali等人在受到低密度奇偶校验码（Low Density Parity Check Code，LDPC）的启发后，于2007年提出了低密度格玛（Low Density Lattice Code，LDLC）［3］。LDLC码的校验矩阵呈稀疏性，故适合采用类似于LDPC码的基于二分图的线性迭代算法来实现其接近AWGN信道容量的高效译码，且译码复杂度线性于码长［4］。

OFDM技术在抗多径干扰方面极具优势。OFDM符号间插入保护间隔后，可以避免码间干扰（ISI），并减小子信道间干扰（ICI）。但在Rayleigh环境下，某些子载波可能会由于深衰落而被完全淹没，从而影响整个系统的误码率性能（BER），为了消除这种影响，我们可以引入纠错编码技术。本文将LDLC码作为前向纠错编码应用于OFDM系统中，仿真并对比分析其性能和复杂度。

2 LDLC简介

2.1 定义

一个n维格点对应着格码的一个码字，格的定义式为

式中，G为n×n的生成矩阵，b为n维整数信息矢量。格码就对应着一个整形区域B内所有格点的集合。

定义H=G-1为格码的校验矩阵，那么LDLC码的校验矩阵一般则为维数为n、度为d的魔方阵，即n×n的H中每一行每一列均有d个不同的非零元素，元素取值于生成序列｛1≥h1≥h2≥…≥hd＞0｝。

2.2 编码

生成矩阵G不具有稀疏性，用x=Gb来直接编码的计算和存储复杂度为ο（n2），但校验矩阵H

=G-1呈现稀疏特性，若采用基于H的Jacobi迭代算法则可使编码复杂度降低为ο（n）。迭代公式的推导和定义如下：

式中，t为迭代次序，D、L与U分别为H的对角阵、下三角阵和上三角阵，即有H=D+L+U。如果矩阵H非奇异，且序列｛x（t）｝收敛于x，那么x必是方程Hx=b的解，也就是LDLC的码字。

根据数值分析理论和仿真经验可知，当同时满足下列3个条件时可以保证编码算法收敛：H的维数较大，度数较小（如：n≥100，d≤10）；生成序列的最大元素值h1=1，且保证∂=；H矩阵做适当的行变换使其对角线上元素为±h1。

3 LDLC在OFDM系统中的应用

3.1 系统模型

图1为LDLC-OFDM系统的发送端。两路信息输入b1、b2分别经过LDLC编码后输出I路码字x1和Q路码字x2，然后把x1、x2映射成复数据流Xi=a+j b，接着将Xi串并变换为X1，X2，…，Xk，分别对应着OFDM系统的k个子载波，以此作为OFDM的调制信号。OFDM调制包括IFFT变换和为每一个OFDM符号添加循环前缀CP。最后信号经射频发射出去。

信号传播环境选用瑞利衰落信道，由改进型的Jakes模型来模拟［5］，该模型的定义如下：

式中，X（t）为瑞利噪声信号，Xc（t）、Xs（t）分别为其同相和正交部分，且有：

式中，θ、φ、ψn为［-π，π］上均匀分布，且独立统计，M为Jakes仿真器所需要的正弦波个数。与Jakes正弦叠加法的确定模型相比，改进型模型引入了随机路径增益、随机多普勒频率以及随机的正弦波初始相位，从而使该模型成为具有良好统计特性的非确定性模型。

系统接收端模型如图2所示，接收信号经过射频解调后，到达OFDM解调处，先去掉每一个OFDM符号的循环前缀CP，再对其做FFT变换得到对应着OFDM系统k个子载波的解调信号X′1，X′2，…，X′k，接着并串变换后恢复复数数据流X′i，X′i再解映射为I′路码字y1和Q′路码字y2，并分别进行LDLC译码后得到两路信息输出b′1、b′2。

3.2 量化译码

系统接收端解映射得到的I′路码字y1和Q′路码字y2分别作为上下两路LDLC译码器的输入。LDLC采取基于Tanner图的线性迭代算法。迭代中，变量节点发送给校验节点的信息为概率密度函数PDFs，校验节点发送给变量节点的信息为PDFs的周期扩展。如果用x1，x2，…，xn表示LDLC校验矩阵的变量节点，c1，c2，…，cn表示校验节点，且设码长为n的接收码字y1或y2的码元为yk，k=1，2，…，n，信道噪声方差为σ2，则系统接收端LDLC译码的过程可描述如下。

（1）初始化：变量节点xk，k=1，2，…，n传递给与之相连的校验节点的信息为

（2）基本迭代——校验节点信息更新。如果用fl（x），l=1，2，…，r表示前半次迭代中与该校验节点相连的变量节点xml发送给它的信息，则校验节点发送回变量节点xmj的信息Qj（x）可由下列三步求得。

卷积：

其中，式（5）、（6）、（7）可从校验方程的角度来直观解释：由=integer可导出（integer），再结合独立随机变量和的PDF等于各个随机变量PDF的卷积的理论可得到式（5），当integer为零时，可根据式（5）、（6）计算出发送给xmj节点的PDFs信息pj（x）。但为了得到integer为每一个可能的值时对应的PDFs，需要再进行式（7）中的周期延拓处理。

（3）基本迭代——变量节点信息更新。如果Ql（x），l=1，2，…，n表示前半次迭代中与该变量节点相连的校验节点cml发送给它的信息，则变量节点发送回校验节点cmj的信息fj（x）可由下列两步骤求得。

乘积：

其中，式（8）为信道PDF与校验节点的更新信息相乘，它们在该变量节点上被看作是独立的信息源。

重复基本迭代2、3至设定的次数。

（4）最终判决：基本迭代完成后，首先，在没有遗漏最后一次迭代中任何校验节点更新信息的基础上计算出该变量节点最终的PDFs：

在具体的译码实现中可采用量化处理的译码算法，即用量化数为L、分辨率为Δ、范围为D=L×Δ的离散矢量来近似表示每个PDF信息，要求则是1／Δ和D必须为整数。根据“3σ法则”可知，当Δ= 1／64、L=256时，高斯分布的PDF的量化误差可以忽略不计，此时D=L×Δ=4。

量化后，式（4）中fk（x）可表示为fj（kΔ），k∈Z。在理想点附近对（x）求滑动平均可得到式（5）中的（x／hj），即需要计算

其中，lw=「hj／2」为滑动平均窗口长度，求滑动平均可由MATLAB中的filter函数来实现。为了简化处理，可交换式（6）、（7）的执行顺序，即先对式（5）中的卷积结果¯pj（x）进行周期为1的延拓，即：（x）=，然后再作展开运算（x）=（-）。如果对式（5）中（x）做FFT（长度为L）变换，再以D为间隔抽取就可得到1／Δ个抽样值，且对应着¯Qj（x）的一个周期。若先对式（5）中d-1个fj（kΔ）分别以1／Δ为间隔抽取并对应相加，即：

然后再求gi的FFT（长度为1／Δ），最后把d-1个FFT相乘后再进行IFFT变换，也可得到一个周期的¯Qj（x）。紧接着对¯Qj（x）按「hj」做展开运算就可得到校验节点信息的更新值Qj（x）。变量节点信息的更新采取类似的量化处理方法。

4 仿真与结果分析

4.1 性能指标的确定

根据香农理论可知对于维数n较大的格码，好码的码字为半径r=的球体上的一致分布，其中PX=为信号平均功率。每个格点的周围为Voronoi域或邻近域，若为Voronoi域的平均体积，则有Vc=det G。根据文献［2］有==。设为高斯噪声平均功率，则低密度格码（LDLC）在AWGN信道上的信噪比的广义为

其中一般地，需要用归一化处理来保证上式中det（G）=1。蒙特卡洛仿真的两大性能指标为信噪比和误比特率，求误比特数需要统计，k= 1，2，…，n的个数。

4.2 参数设置与结果分析

图3为LDLC码在AWGN信道下的仿真结果。LDLC采用无四环的校验矩阵H，其中码长n=520时，度d=5；n=1 040时，度d=7。编码器的输入信息b采用二进制和多进制（此处选择四进制）的两种情况，即序列b的元素值取自于｛-1，1｝和｛-3，-1，1，3｝。译码迭代次数设置为：t=100。仿真帧数的设置为：码长n=520时，帧数frame=4 000；码长n=1 040时，帧数frame=2 000，这样当误码率BER≈10-5时，平均统计的误比特数大概为20。结果表明BER≈10-5时，码长n=520、1 040的LDLC分别需要2 dB和1.5 dB，即距离香农限分别为2 dB和1.5 dB，所以1 040码长的LDLC的纠错性能相比520码长时有0.5 dB的改善，码长越大，性能越好。从图中还可以看出当编码器的信息输入b为二进制时，误码率性能要好于四进制的情况，这恰好证明了b为多进制时，码率会增大，性能会变差。

图4 为LDLC码、LDPC码分别应用于OFDM系统时在Rayleigh信道下的仿真结果。两者都采用无四环矩阵，仍然选取520码长和1 040码长。其中LDPC码采用PEG构造，其中520码长时，列重wl= 3，行重wr=6；1040码长时，列重wl=4，行重wr= 8。这里PEG构造的基本思路是：先造全零矩阵H（n，n）=0，接着在第1列中随机赋值wl个1，然后从第2列开始，随机选择一个位置，判断所在行的行重是否已经大于wr，若大于则放弃，否则继续判断当这个位置为1时是否会构成四环，若不会，则再将该位置赋值为1，若有四环，则放弃且重新随机选择位置，直到该列有wl个1。OFDM系统的子载波个数设置为52，FFT长度设为64，保护间隔（循环前缀CP）长度设为16（FFT长度的四分之一）；译码迭代次数t=100；仿真帧数的设置为：码长n=520时，帧数frame=2 000；码长n=1 040时，帧数frame =1 000，所以当误码率BER≈10-4时，平均统计的误比特数大概为200。Rayleigh噪声由改进型的Jakes模型生成，假设信道为理想估计。仿真结果表明，当误码率BER≈10-4时，码长n=520、1 040时，LDLC-OFDM系统分别需要18.2 dB和14.9 dB，LDPC-OFDM系统则分别需要21 dB和17.5 dB，而未编码的OFDM系统需要34 dB。可以得知：LDLC和LD-PC都很大程度地改善了未使用任何前向纠错编码的OFDM系统的性能，且码长越大，性能越好，相同码长下LDLC的纠错性能比LDPC要好3 dB左右。同时我们也可以比较两路LDLC和两路LDPC总的的码率：LDLC校验矩阵为方阵，码率r=1，两路LDLC总的码率Rldlc=2；两路LDPC总的码率为Rldpc=1。Rldpc＜Rldlc，LDLC的码率更大，性能却更好，所以OFDM系统采用LDLC码时整体的纠错性能要好于LDPC码。

LDLC译码中t次迭代后，量化处理的线性迭代译码总的计算复杂度为ο（n×d×t××lb（）），总的存储复杂度为ο（n×d×L），可以看出虽然LDLC迭代译码算法线性于码长，但采取量化处理算法后，量化数L明显增加了存储复杂度，所以LDLC码在OFDM系统中的纠错性能要比LDPC码更好，但付出的代价更大，所以简化的LDLC译码算法的研究成了一项重要的课题，文献［6］给出了与LDPC码的计算和存储复杂度相当的LDLC简化译码算法。

5 结论

本文分析了LDLC码的原理，通过仿真验证了其在AWGN信道下具有良好的纠错性能。同时把LDLC码应用于OFDM系统中，让两者联合对抗瑞利衰落。仿真结果表明，LDLC码很大程度地改善了OFDM系统在衰落信道下的误码率性能，并要好于LDPC码。考虑到实际的无线通信系统中对于基带信号处理的实时性要求，LDLC的简化译码算法研究至关重要。

低密度格码是格码研究的一次突破，它是继Turbo码、LDPC码后又一种极具应用潜力的信道编码技术。而MIMO与OFDM是LTE（Long Term Evolution）中两大关键技术［7］，所以LDLC码在MIMOOFDM系统中的应用研究将是今后的工作方向。

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ZHU Lian-xiang，DAI Gai-rong.Principles of low density lattice codes and their performance simulation［J］.Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications（Natural Science Edition），2011，23（2）：167-171.（in Chinese）［5］夏吉吉，朱晓明，张海涛.改进型JAKES模型在OFDM系

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GU Wei was born in Yueyang，Hunan Province，in 1988.He is now a graduate student.His research interests include errorcontrolcoding for OFDM systems operating over fading channels，the efficient codec for mobile communication.

Email：wodedaxue163＠163.com

朱联祥（1971—），男，陕西人，博士后，教授，硕士生导师，主要从事无线定位、通信信号处理、数字信号处理技术、信息论与编码等方面的科研及教学工作。

ZHU Lian-xiang was born in Shaanxi Province，in 1971.He is now a professor with the the Ph.D.degree and also the instructor of graduate students.His research interests include wireless positioning，communication signal processing，digital signal processing technology，information theory and coding.

Email：zhulx＠cqupt.edu.cn

Application of Low Density Lattice Codes in OFDM System and Performance Simulation

GU Wei，ZHU Lian-xiang
（Chongqing Key Laboratory of Signal and Information Processing，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

Channel coding is one ofkey technologies for OFDM system.Low density lattice codes（LDLC），which combine the features of lattice codes and low density parity codes（LDPC），are recently-proposed lattice codes thatcan be decoded efficiently and approach the capacity ofthe additive white Gaussian noise（AWGN）channel. The basic principles of LDLC are described and the application of LDLC as a forward error correction coding in OFDM system with Rayleigh fading is researched.The performance of LDLC-OFDM system is studied on MATLAB.Simulation results show thatthe biterror rate（BER）performance of LDLC-OFDM system is significantly improved compared with OFDM system and better than that of LDPC-OFDM system.

orthogonal frequency division multiplexing（OFDM）；channel coding；low density lattice code（LDLC）；Rayleigh fading

The Project of Key Laboratory of Signal and Information Processing of Chongqing（CSTC2009CA2003）

TN911.2

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.03.018

顾伟（1988—），男，湖南岳阳人，重庆邮电大学硕士研究生，主要研究方向为宽带无线技术、移动通信高效编解码；

1001-893X（2012）03-0342-05

2011-11-01；

2012-01-11

信号与信息处理重庆市市级重点实验室建设项目（CSTC2009CA2003）