随机游动模型的历史研究

聂淑媛，梁铁旺

(1洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳471022;2河南科技大学林业职业学院，河南洛阳471022)

随机游动模型的历史研究

聂淑媛1，梁铁旺2

(1洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳471022;2河南科技大学林业职业学院，河南洛阳471022)

以三个关键人物皮尔逊、巴夏里埃、肯德尔各自对随机游动模型的发现和使用为主线，首次细致阐述了该模型的发展历程及其应用，这项研究是探讨时间序列分析自回归过程历史发展的重要内容之一.

随机游动;醉汉模型;皮尔逊;巴夏里埃;肯德尔

时间序列模型中经常可以见到一个非常特殊的自回归过程yt=yt－1+ε，其中，yt只依赖于滞后一期的值yt－1，且yt对滞后值yt－1的系数正好等于1.对该模型的识别，与英国统计学家尤尔(George Udny Yule，1871—1951)和沃克(Gilbert Thomas Walker，1868—1958)对于平稳线性自回归AR模型的创建是两条完全不同的技术路线［1］，本文以原始文献为依据，概述该模型的历史发展及其应用.

1 皮尔逊的首次命名

英国统计学家皮尔逊(Karl Pearson，1857—1936)第一个把该模型命名为随机游动模型(random walk model).有趣的是，皮尔逊在识别这一模型时，最初不是从纯时间的角度出发，而是在利用统计性质探索自然选择和生物进化的过程中，首先进行了空间上的类比，比如，皮尔逊不仅探讨物种聚集到可能栖息地的概率，而且具体研究当把理想居住地简化为一个点时，经过n次随机飞行后，有N个个体远离该中心的分布情况.为了精确地探寻物种随机迁徙的数学模型，1905年皮尔逊在《自然》(Nature)杂志中公开求解随机游动问题［2］:

如果一个醉汉醉得特别严重，完全丧失了方向感，且处于荒郊野外，若经过一段时间之后再去寻找他，那么，在什么地方找到他的可能性最大呢?

可以用数学语言具体表述为:

某人从O点出发，沿直线走了1步，然后任意转弯，并第二次沿直线走了1步，把这个过程重复进行n次，现在探求经过n步之后，他到O点的距离位于(r，r+δr)的概率.

皮尔逊收到了不同领域科学家的回答和疑问，如瑞利爵士(Lord Rayleigh，1842—1919)认为，当n很大时，这个问题可以与相同周期内声波振幅的问题类比，并计算出，醉汉到初始点的距离服从零均值正态分布，位于(r，r+δr)的概率为.

皮尔逊最后总结指出，由于醉汉已经丧失了方向感，他第t步的位置可以视为第t－1步的位置再加上一个完全随机的移动，因此，醉汉任意时刻的可能位置，即为一个随机游动模型，最可能找到醉汉的地方是他的初始点附近，这就是时间序列分析历史上很有趣的一个典故——随机游动模型的诞生，也称为醉汉模型.

当然，皮尔逊的比喻与当前的时间序列分析还是略有区别的:对皮尔逊而言，空间的取代与所走的步每次都是相等的，变化的只是角度;在现代自回归过程中，时间间隔是相等的，每一方向上的距离是变化的.现代自回归认为，虽然随机游动模型的均值相对稳定，但其方差不稳定，随机游动属于非平稳过程，是非平稳线性自回归ARIMA(p，d，q)模型中最简单的ARIMA(0，1，0)情形.

2 巴夏里埃在金融问题中的应用

随着皮尔逊对随机游动模型的定义，有些经济学家和统计学家从极限扩散过程、试验序贯分析、调查有限等待空间的队列以及处理一个点或给定集合递归的首次通过时间等问题中也发现了随机游动.近几十年来，财经分析者开始利用随机游动模型对股票、证券市场的价格变动进行建模，这一历史可以追溯到法国数学家巴夏里埃(Louis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier，1870—1946).1900年，巴夏里埃在博士论文中［3］把以前分析赌博的方法应用于研究股票、债券、期货和期权，使用类似的扩散模型进行证券推测，率先使用统计方法分析金融收益率问题，力求搜寻一个能够表达市场波动可能性的公式.为了确定某给定状态下证券价格变化的数学期望，巴夏里埃探讨了独立增加的概念，并从本质上把随机游动看作随机差分方程yt－yt－1=ε，价格变化、一阶差分是随机元素，价格从t－1变化到t时的期望值为0.强调一点，巴夏里埃最具有开拓性的贡献在于他认识到，随机游动过程还是微观粒子运动形成的一个模型，属于物理学上的布朗运动(Brownian motion)［4］.

1934年，美国斯坦福大学(Stanford University)的统计学教授沃金(Holbrook Working，1895—1985)进一步指出［5］，正如同巴夏里埃所分析的，金融资产的价格序列，尤其是股票价格，有与“随机—差分序列”类似的特征:虽然序列不是随机的，但一阶差分是随机的，并创建标准的随机—差分序列图表，以便于其它研究者检验自己的商品或股票价格序列与该标准相似的程度，这也可以看作是随机游动模型的一个应用.

3 肯德尔的独立发现

随机游动模型历史上的另一个关键人物是肯德尔(Maurice George Kendall，1907—1983).1953年，肯德尔在分析1883—1934年每周小麦价格的一阶差分时，也惊奇地发现了随机游动.尽管他的研究要稍微晚了一些，但他既不熟悉巴夏里埃的工作，也不了解随机游动这一术语，而是通过市场获得了随机游动的思想.

肯德尔指出［6］:如果序列是均匀的，从这一周到下一周价格的变化实际上独立于从下一周到后一周的变化.从而表明，根据序列本身根本不可能预测从这一周到另一周的价格;如果序列实际上是游荡的，则从中可以观察到的趋势或循环等任何系统特征都是假象，需要在目前的价格中增加随机变量，以便于确定下一周的价格.对两类序列的方差进行比较，显示了变异性的增强，从分析的观点来看，序列不平稳，这是一件比较麻烦的事情，对于这种均值为常数、方差似乎在增加的时间序列来说，随机游动可以作为这类模型的最佳描述.

综上所述，根据随机游动模型可以知道，基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向，把这一术语放在金融市场上，则意味着股票价格的短期走势无法预知，意味着所有的投资咨询、收益预测和复杂的图表模型都没有太大的实际意义.因此，并非所有的经济学家和统计学家都满意于这种模型.目前，随机游动模型把有效市场理论(efficient market theory)的核心思想与布朗运动联系起来，由此形成了一整套的随机数学方法，成为构建数理金融学(mathematical finance)的基石，在计量经济学和金融学中有着广泛的应用.

［1］聂淑媛.尤尔建立时间序列线性自回归AR(P)模型的历史过程探析［J］.统计与决策，2011，327(3):4－7.

［2］Pearson K.The Problem of the Random Walk［J］.Nature，1905，72:294－342.

［3］Bachelier L.Theory of Speculation［M］//Paul H.Cootner.In the Random Character of Stock Market Prices.Cambridge:MA:MIT Press，1964.1－78.

［4］杨静，徐传胜，王朝旺.试析巴夏里埃的《投机理论》对数学的影响［J］.自然科学史研究，2008，27(1):94－104.

［5］Klein J.L.Statistical Visions in Time:A History of Time Series Analysis，1662—1938［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1997.270－274.

［6］Kendall M.G.The Analysis of Economic Time Series-Part 1:Prices［J］.Journal of the Royal Statistical Society，Series A，1953，116(1):11－34.

A Historical Study about Random Walk Model

NIE Shu-yuan1，LIANG Tie-wang2
(1 Department of Mathematics，Luoyang Normal University，Luoyang 471022，China;2 Forestry Vocational College，Henan University of Science and Technology，Luoyang 471002，China)

The paper tells the development process and its application of random walk model in detail，which regards the independent works of three key statisticians as the main clue，from Pearson to Bachelier to Kendall.The study is one of the most important contents of exploring the historical development of the auto regression process in time series analysis.

random walk;drunkard model;Pearson K.;Bachelier L.;Kendall M.G.

N09

A

1009—5128(2012)06—0019—03

2012—02—21

国家自然科学基金资助项目(11001217)

聂淑媛(1974—)，女，河南台前人，西北大学博士研究生，洛阳师范学院数学科学学院高级讲师.研究方向:时间序列分析.

【责任编辑 牛怀岗】