空空导弹高抛弹道作战效能研究

崔垚，李顺利，计佳俊，魏广东，雷炜

(哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江哈尔滨 150001)

引言

制空权对战争的胜负起着决定性的作用，世界各国都在大力开展空空导弹的研究工作。超视距作战将成为制空权争夺的关键技术，为此各国都在争相研制射程更远和精度更高的空空导弹。

中制导是导弹制导过程中控制时间最长的且对导弹射程影响最大的阶段。一般来说，中制导在设计时要充分衡量能量耗散的问题，尽量减小能量的消耗，使导弹在中制导过程中达到尽量远距离并且在结束时能供给末制导尽量大的初始能量。研究表明，提高导弹的飞行高度能够有效地增加射程。在初始阶段，导弹高抛射入较高的空域，高空的大气密度低，导弹所受空气阻力减小，使得导弹能够飞行更长的距离。同时，进入末制导时具有一定势能，在末端攻击时有着一定的优势。

1 数学模型建立

1.1 导弹运动模型

为了方便研究，将导弹简化为质点，其运动模型为:

式中，(x，y，z)为导弹的坐标位置;v为导弹的速度;θ为弹道倾角;φv为弹道偏角;ny，nz为纵向和侧向过载控制量;T为发动机推力;X为空气阻力。

1.2 目标运动模型

现代战斗机在规避空空导弹攻击时可做出多种机动飞行方式，本文选取四种典型机动飞行方式:水平面匀速直线运动、水平面等过载等速转弯、铅垂面等过载爬升、等过载横滚［1］。假设目标最初在初始高度匀速直线飞行，当弹目距离减少到30 km时，目标开始机动飞行。

2 制导律设计

一般空空导弹的初制导时间较短，大多数为程序角控制，使导弹速度矢量在一定时间内达到中制导导引要求。

2.1 奇异摄动中制导律

在中制导过程中，导弹将长时间处于巡航飞行。对此，可以将导弹看作是在两种时间尺度内工作:一种是由航向距离x、侧向距离z、能量E和偏航角φv组成的慢变时间尺度系统;一种是由高度y和弹道倾角θ组成的快变时间尺度系统。基于此分析，就可以应用奇异摄动理论求解其最优控制问题［2］。

本文把导弹的质心运动方程强迫用双重时间尺度系统代替［3］:

为了给末制导提供最大的初始速度，导弹在中制导阶段尽量降低能量消耗。因此在推导过程中，取性能指标:

式中，tf为中制导结束时刻。

2.1.1 最小能量慢变控制器

对于式(2)，令ε=0，得到降阶后的子系统。

根据最优控制理论推导得到:

最小能量慢变控制器nz只需要载机为导弹提供中制导末端的侧向位置zf便可。

2.1.2 快变控制器

快变控制器的设计就是要使导弹在中制导段初始时，快速向上大角度转弯以最快的时间到达最优高度转入平飞;并且在中制导末段时使导弹下降，从而进入可以对目标进行安全捕获的区域。给中制导段一个光滑的弹道。应用奇异摄动理论求解上述问题就是一个具有两点约束问题的优化过程。

取快变时间尺度τ1=(t－t1)/ε，代替原系统时间变量。取ε=0，有:

全阶系统的状态变量可直接应用降阶后系统状态变量的对应关系，因此受到的影响是很小的，于是得到如下的具有反馈形式的全阶系统控制器nz:

受到这个快变控制器的作用，将促使快变状态y，θ逐渐趋近于由慢变子系统决定的稳定轨迹，即y→y0，θ→θ0，达到稳定之后，导弹便可转入最优高度上的巡航飞行。

如果导弹一直在最优高度上做巡航飞行，不能满足中、末制导交接班的条件，还需要在右端边界层(即中制导末段)加入控制量nyb。研究线性系统在右边界层ω=ωF+ωS+ωb，V=VF+VS+Vb。根据奇异摄动相关理论可知:

式中，H=A+BK';ωb和Vb分别为系统在右边界层时的状态量和控制量;τ2=(t－tf)/ε为该状态此阶段处于右边界层内。由最优控制相关理论能找到最小能量控制器:

式中，yf，vf，θf分别为导弹在预测的中制导末端时刻tf处所应到达的高度、速度和弹道倾角。可见，控制过载ny由三段组成:控制巡航段、控制爬升段和控制下滑段。

2.2 弹道形成最优中制导律

弹道形成最优中制导律是根据中制导的要求提出的，目的是使末速度最大。导弹在中间段的飞行过程中，火控系统通过双向数据链可以为导弹定期提供目标信息，根据目标现在的速度、位置和加速度信息对目标将来的机动情况做出基本的预测，然后根据这个预测信息，形成弹道指令控制导弹朝向这个预测的拦截点飞行。将导弹送到最后的中末制导交接点上。

弹道形成最优中制导律的基本形式［4］为:

式中，R为导弹到预测交接点的间距;δ为导弹的速度矢量v和导弹预定的末速度矢量之间所成的角度;ξ为速度矢量v与导弹到预测交接点G连线之间所成的角度;k3和k4分别为对应项的系数。把式(16)分解到纵向平面和侧向平面，并利用最优控制理论寻找优化的和以满足末速最大的性能指标［5］:

2.3 三维比例制导律

广义比例导引的俯仰偏航控制方程为:

式中，ky，kz为比例导引系数分别为弹目视线角变化率在纵向平面和横向平面的投影;为弹目距离变化率。

2.4 中末制导交接班

为了使导弹在中末制导交接班顺利完成，在中末制导引入系数K。这样，过载在交接点附近能够平滑过渡［6］，表达式为:

式中，Rj为中末制导交接班距离;L为交接班过程距离。

3 仿真分析

为了考察奇异摄动中制导律的增程效果，本文以导弹进入中制导时弹目航向(x轴)初始距离为空空导弹武器系统效能的衡量指标(以下称攻击距离)。对四种不同目标机动方式进行弹道仿真，通过设置不同初始距离，利用二分法分别求得导弹对目标四种机动方式最远攻击距离，选取四个结果中的最小值作为该制导模式下的最远攻击距离。

在设计仿真程序时，首先建立脚本文件，利用Matlab语言编程设置导弹和目标的初始高度，并采用二分法计算目标航向初始距离，调用Simulink建立的弹道模型解算弹道，求得所设定高度下的最远初始攻击距离。仿真程序流程如图1所示。

图1 仿真程序流程图

命中条件:(1)导弹飞行时间小于导弹设计工作时间;(2)脱靶量小于或等于导弹杀伤半径。

为研究高抛弹道在提升导弹作战效能方面的适用性，本文选取五种情况将其与常规弹道进行仿真对比，仿真结果如图2～图6所示(hM为导弹初始高度，hT为目标初始高度，s为攻击距离)。

(1)导弹与目标初始位置在同一高度。

图2 弹目初始等高时攻击距离曲线

(2)初始时刻目标位于导弹上方3 km。

图3 目标初始在导弹上方时攻击距离曲线

(3)初始时刻目标位于导弹下方3 km。

图4 目标初始在导弹下方时攻击距离曲线

(4)导弹初始高度10 km，目标高度从5 km到18 km。

图5 导弹初始高度10 km攻击距离曲线

(5)目标初始高度10 km，导弹高度从5 km到18 km。

图6 目标初始高度10 km攻击距离曲线

由图可知，奇异摄动制导律利用空气密度随高度的增加而减小的性质，找到飞行的最佳高度，使得导弹在进入末制导时具有速度和能量上的优势，从而增大导弹的射程。高抛弹道在初始弹目高度较低的情况下优势明显，随着高度的增加，采用高抛弹道的作战优势逐渐下降。当初始时刻弹目之间存在高度差时，导弹的初始作战高度和弹目相对位置不影响高抛弹道的攻击距离，对于常规弹道来说，攻击距离随作战高度的提升而增加。当导弹初始高度一定时，两种弹道的攻击距离基本不随目标高度变化而变化，因为随着目标高度增加，大气密度变小，导弹所受到的空气阻力随之减小，飞行速度增大，弥补了初始高度差对攻击距离的影响。当目标高度一定时，常规导弹的攻击距离随着导弹的初始高度大幅提升，说明导弹的初始飞行高度对常规导弹攻击距离影响较大。而高抛弹道的攻击距离基本不随作战高度变化，其主要影响因素是导弹工作时间。

4 结束语

本文针对远程空空导弹的特点，为达到增程的目的，提出了利用奇异摄动方法实现让导弹迅速爬升并在最优高度上巡航飞行，从而形成高抛弹道，通过弹道仿真，得到了不同初始高度条件下高抛弹道的性能特点。结果显示，奇异摄动制导可以节省能量，增加射程，有效地提高了远程空空导弹的作战效能，但随着作战高度的增加，高抛弹道的射程优势逐渐减小。

奇异摄动中制导虽然可以有效地提高导弹的射程，但长时间高空飞行增加了导弹与载机之间数据交换的难度。同时，导弹长时间没有指向目标，这对末制导目标捕获时的敏感度提出了更高要求，需要在今后设计出更有效的中末制导交接班算法。

［1］ 杨超.中程空空导弹效能研究［D］.西安:西北工业大学，2007.

［2］ 乔洋，陈刚，陈士橹，等.一种快速爬升和快速下降的奇异摄动最优中制导律设计［J］.固体火箭技术，2008，31(3):205-224.

［3］ Van Buren A，Mease K D.Aerospace plan guidance using timescale decomposition and feedback linearization［J］.Journal of Guidance，1992，15(5):1166-1174.

［4］ Lin C F，Tsai L L.Analytical solution of optimal trajectoryshaping guidance［J］.Journal of Guidance，1987，10(1):61-66.

［5］ 王冠军.中远程空空导弹复合制导研究［D］.西安:西北工业大学，2004.

［6］ 杨雪榕，梁加红，李晓冬.空空导弹高抛弹道仿真研究［J］.系统仿真学报，2010，22(5):1261-1265.