一种基于非线性跟踪-微分器的角加速度估计方法

邵雷，赵锦，赵宗宝，李炯

(1.空军工程大学 导弹学院，陕西三原 713800;2.西安理工大学 自动化学院，陕西 西安 710048)

引言

近年来，随着红外成像技术工程化和实用化的不断成熟，采用具有凝视红外焦平面器件的红外成像制导已逐渐成为精确制导技术研究领域的新热点。以红外凝视导引头构成的末制导系统，因其只能获得视线角度信号，制导算法的选择受到较大限制，而常见的比例导引法在大离轴角发射时对高速大机动目标的制导精度难以满足战术指标要求。

从制导信息的组成来看，视线角加速度信号由零作用脱靶量(ZEM)和非零作用脱靶量(NZEM)构成。实际这与增广比例导引的制导信息组成一致，因此在比例导引系统中引入视线角加速度信号后形成的PD型比例导引与增广比例导引类似。研究表明，视线角加速度引入比例导引后可使等效的有效导航比显著增大，抗目标机动能力得到明显增强，制导精度大幅提高［1］。如何在红外凝视制导系统中根据角度信息有效地估计出角加速度信息成为该制导算法实现的一个关键问题。

近年来，一些学者对加速度获取问题进行了研究，设计了不少方法，如文献［2］给出了一种改进CB观测器的设计算法;文献［3］在制导律实现过程中，应用高增益观测器进行制导信息的估计，通过对观测器状态扩张进行目标机动加速度的估计。然而，这些研究大多基于速度或角速度可测这一条件进行加速度估计，难以满足根据角度信息直接获取角加速度的需求。

卡尔曼滤波以其良好的滤波功能以及简单、易于实现等特点被广泛应用于系统的参数估计，同时也被用于加速度的估计，文献［4］利用一种噪声驱动的全积分模型作为系统的状态方程，并依据该模型，利用卡尔曼滤波对加速度状态进行估计。尽管这种方法的应用范围较广，但试验结果表明，其估计效果并不是很理想，容易产生相位滞后。跟踪-微分器作为一种非线性估计方法，能在任意有限时间内充分逼近输入信号［5］。为了获得更好的控制效果，文献［5-6］采用跟踪-微分器算法能够有效地估计视线角加速度，但在估计的初始段估计误差较大，不利于系统稳定工作;文献［7］在跟踪-微分器中引入二阶低通滤波器在一定程度上有效地解决了该问题，然而问题依然存在。为此，本文在上述研究基础上，将卡尔曼滤波与跟踪-微分器滤波估计有机结合设计了一种卡尔曼+跟踪-微分器滤波估计算法。

1 卡尔曼滤波及跟踪-微分器介绍

1.1 卡尔曼滤波器介绍

卡尔曼滤波是一种最优化自回归数据处理算法，由于算法简单、易于实现，被广泛应用于工程技术的各个领域。卡尔曼滤波由预测、修正两个步骤组成，在被估计状态的协方差最小化意义上是最优的。对于一个离散控制系统，可由运动方程和观测方程表示如下:

式中，xk为第k个采样周期n维状态矢量;yk为第k个采样周期1维测量值;A，H为n×n，1×n维系数矩阵;wk，vk为过程噪声(n维)和测量噪声(1维)，它们之间相互独立，且不同k值的wk和vk也相互独立。

则卡尔曼滤波基本方程如下:

1.2 跟踪-微分器介绍

跟踪-微分器(TD)可由如下定理描述［3］。

定理1:若系统

上述定理表明:随着跟踪速度因子r的增大，系统(5)的解x1(t)能在任意有限时间内充分逼近输入信号v(t)，从而可以将x1(t)的导数x2(t)作为输入信号v(t)的微分信号。实际上若将有界可积函数v(t)以及x2(t)看成广义函数，从式(6)可以推出:x2(t)弱收敛于广义函数v(t)的广义导数。采用同样的方法可将系统扩展为多维。

根据跟踪-微分器定理，若考虑如下的二阶离散系统:

式中，X(k)=［x1(k)，x2(k)］T为系统状态。

则可以构造如下跟踪-微分器:

式中，F(x，y)=sgn(x+|y|y/2);h为采样间隔;v(k)为跟踪-微分器输入;K为待定参数，且K＞0。

在实际应用过程中，为防止高频振荡，并使系统快速收敛，同时解决跟踪-微分器中相位滞后，通常在跟踪-微分器中引入如下二阶低通滤波器［7］，其传递函数满足:

式中，Tf为滤波器的时间常数;ξf为滤波器的阻尼比;s为拉氏算子。

同时，为了限制系统的超调，需要对输出进行限幅处理［7］。

2 卡尔曼跟踪-微分滤波器设计

试验结果表明，在仅有角度信号可测的条件下，当采用卡尔曼滤波对信号进行估计时，对角度信号的估计效果较好，而角加速度信号的估计效果不佳;当采用跟踪-微分滤波器对信号进行估计时，经过文献［7］改进以后估计效果以及相位特性均在一定程度上有所改善，但其初始状态可能出现较大的超调。为此，本文将二者有机结合，首先基于卡尔曼滤波根据角度信息估计出角速度，以及角加速度信息;然后，根据卡尔曼滤波获得的角速度信息，基于跟踪-微分滤波器对角加速度进行估计。

然而，在实际应用的过程中，若直接采用根据角速度信号基于跟踪-微分器获得的角加速度信号，在估计的初始状态会产生较大的超调量，不利于制导系统的工作。为此，基于一定的评判准则，在估计的初始段采用卡尔曼滤波器获得的角加速度信息，而后转为跟踪-微分器估计的角加速度信息。其原理图如图1所示。

图1 滤波原理图

正常情况下，经过一段时间以后，两种滤波估计算法均会趋于稳态。为此，可选择两种滤波器实际输出之间的误差构造如下的评判指标函数，根据指标函数对输出信号进行合理融合。

式中，α≥0;β＞0;λ＞0;ε(t)为两种滤波器实际输出之间的误差;第一项反映当前瞬时误差的影响，第二项反映过去误差的影响;λ为遗忘因子，决定记忆的长度。通过合理地选择参数α，β，可以在瞬时误差与历史误差之间进行折衷，进而获得较好的性能指标。

3 仿真研究

为验证所设计估计算法的性能，基于平面拦截条件进行制导仿真验证。

仿真初始条件为:导弹与目标的初始距离R0=2 000 m(仅考虑末端区拦截);初始视线角q0=30°;目标速度Vt=250 m/s;目标速度初始倾角θt(0)=40°;目标加速度at=12gsgn［sin(2π ×0.2t)］(g为重力加速度)。目标动力学采用二阶环节模拟，阻尼比为0.7;时间常数为0.3;导弹速度Vm=450 m/s;导弹速度初始倾角θm(0)=115°;导弹加速度指令最大幅值为40g。导弹动力学也采用二阶环节模拟，阻尼比为0.4;时间常数为0.1。滤波器时间常数为Tf=0.1;滤波器阻尼比为ξf=0.4。

其中，图2为无测量噪声条件下的仿真结果，图2(a)为拦截双方在平面上的运动关系图;图2(b)为基于角度信息对角速度进行估计的结果;图2(c)为采用不同滤波方法基于角度信息进行角加速度估计的对比。图3为噪声条件下的仿真结果，图3(a)为基于角度信息对角速度进行估计的结果;图3(b)为采用不同滤波方法基于角度信息进行角加速度估计的对比。

从仿真结果可以看出，基于本文设计方法所估计的角速度以及角加速度信息作为制导系统的制导信息，能够满足制导系统的精度需求。从图2(b)和图3(a)可以看出，采用文中所设计方法对角速度进行估计具有较高的精度。从图2(c)的仿真对比可以看出，在无噪声条件下采用文中方法能够有效估计视线角加速度，且估计效果略优于卡尔曼滤波。从图3(b)的仿真对比可以看出，在噪声条件下的估计效果明显优于卡尔曼滤波的结果，表明本文设计估计方法具有更好的抗噪声能力。

图2 无噪声条件下仿真结果

图3 有噪声条件下仿真结果

4 结束语

为提高导弹的末制导精度，本文设计了一种可

用于被动红外凝视导引头末制导系统的视线角加速度估计滤波方法，估计和滤波计算容易、精度较高且对制导系统无特殊要求。研究表明，所设计的卡尔曼+跟踪-微分器估计方法能满足视线角加速度估计的精度要求。本文的制导方案能显著提高导弹末端区拦截高机动最优逃逸运动目标的制导性能，对高精度末制导系统设计有一定的工程参考价值。

［1］ 侯明善，张金鹏.非线性比例导引系统研究［J］.上海航天，2002，19(6):14-17.

［2］ 李雅静，侯明善，熊飞.一种改进的观测器算法在制导中的应用［J］.宇航学报，2010，31(8):1920-1926.

［3］ 马克茂.带有终端视线约束的非光滑制导律设计［J］.弹道学报，2011，23(2):14-18.

［4］ Belanger PR，Dobrovolny P，Helmy A，et al.Estimation of angular velocity and acceleration from shaft-encodermeasurements［J］.International Journal of Robotics Research，1998，17(11):1225-1233.

［5］ 韩京清，王伟.非线性跟踪-微分器［J］.系统科学与数学，1994，14(2):177-183.

［6］ 彭建亮，孙秀霞，董文瀚，等.利用跟踪-微分器构造增广比例导引律［J］.应用科学学报，2009，27(4):435-440.

［6］ 侯明善.一种改进的视线角加速度非线性估计与滤波方法研究［J］.上海航天，2006，23(5):12-15.