浅析极限思想在经济生活中的应用

贾敬堂

(邯郸职业技术学院基础部，河北邯郸056005)

一、问题的提出

高职高专学生经常问的问题是，高等数学这么难，学习高等数学有什么用，现实生活中能用上高等数学吗?带着这些疑问，以极限为例研究一下极限思想在经济生活中的应用。

二、极限的概念与起源

数列是一种特殊的函数。数列与函数的极限共同的定义为:若对任意的正数ε，都存在正数N，使得当x＞N时都有|f(x)-A|＜ε成立，则称函数f(x)当x→+∞时，收敛于极限值A，也就是

当函数自变量趋于常数时的极限定义为:若对任意的正数ε，都存在正数δ，使得适合不等式0＜|x-x0|＜δ的所有x都有|f(x)-A|＜ε成立，则称函数f(x)当x→x0时，有极限A，也就是

极限思想是近代数学的一种重要思想，高等数学就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数(极限、导数、微分、不定积分、定积分等)的一门学科。

所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想来源于社会实践。极限思想实际上是一种理想化的状态。

极限思想可以追溯到古代，例如我国战国时期的道家代表人物庄子(前369-前286)就有了原始的极限思想，据《庄子·天下篇》中记载:“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”一尺之棰是一有限的物体，但它却可以无限地分割下去。用现在的数学语言表示为:微积分的极限理论的核心是，如果一个数列或函数无限地接近于一个常数，我们就说这个数是这个数列或函数的极限。由于可用原数列或函数减去极限常数而构造新的数列或函数，问题就可变为“一个数列或函数无限地接近于0”，也就是微积分学的精髓——无穷小量。

我国魏晋时期杰出的数学家刘徽(约公元225—295)在其《九章算术注》(263)中叙述了用割圆术确定圆的面积的方法。割圆术就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。刘徽的思想与现今极限论的观点是十分相近的。刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用。

古希腊的安提芬(Antiphon，480—403BC)最早表述了穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。

古希腊数学家欧多克斯(Eudoxus of Cnidus，408—355 BC)改进了安提芬的穷竭法。将其定义为:“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。

希腊的大数学家阿基米德(Archimedes，287—212BC)运用穷竭法求出了抛物弓形的面积、球的表面积、球冠面积、螺线下的面积、旋转双曲体积等辉煌成果。他还提出了相当于现在无穷小量的概念，为近代的极限理论打下了基础。

17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。英国的数学家牛顿(Newton，1643—1727)、德国的数学家莱布尼兹(Leibniz，1646—1716)在同一时期创立了微积分，即∫abf(x)dx=F(b)-F(a)牛顿-莱布尼兹公式就是利用了极限方法。

在19世纪，法国的数学家柯西(Cauchy，1789—1857)开始明确了极限概念，但在他的著作中常用语言叙述的方法给出，例如“一个变量趋于一个极限”、“变为且保持小于任意给定的量”等，他一方面排除了无穷小的形而上学的绝对存在，而在某些情况下却又把无穷小当作某种独立的量来使用，没有完全正确地运用极限理论来定义什么是无穷小量。

到19世纪后半叶，德国的魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815—1897)才明确而又全面地给出了现今所采用的极限定义。用静态的方法，刻画了动态的极限概念和连续概念。他既排除了莱布尼兹的固定无穷小，也消除了柯西的语言叙述的繁琐，成为我们现在使用的极限定义。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果。

解决问题的极限思想方法是全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是高等数学与初等数学的本质区别之处。高等数学之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题)，正是由于它采用了极限的思想方法。

三、极限在经济生活中的应用及分析

通过具体的案例说明极限在经济生活中的应用，更加方便高职高专学生的理解。

1.农夫分牛的数学原理

有一个农夫养牛19头，在去世前要把这19头牛分给自己的三个儿子。遗嘱是这样写的:老大得老二得，老三得既不能把牛杀死，也不能卖了分钱。农夫去世后，兄弟三人怎么也想不出办法把牛分完。兄弟三人只好向聪明的邻居请教。这个邻居想了想说:我借给你们一头牛，就好分了。这样，老大得到20头牛的为10头，老二得到为5头，老三得到为4头，合计刚好为19头，剩下一头牛还给这个邻居，恰好分完。

农夫的问题得到解决，邻居的聪明才智令人赞扬。

我们再仔细思考一下，这样分牛合理吗?也就是说，老大、老二和老三得到的牛数是否真的农夫的遗嘱丝毫不差?

我们来计算一下这个问题。

由于牛不能分割，分数的分法在这里不起作用。这就是农夫儿子想不出办法的原因。

为什么会出现分数而不是整数呢?按照农夫的遗嘱，第一次分后不能够把19头牛完全分完，还剩下头牛。

每个人必须按照遗嘱继续分掉剩下的牛。

继续分下去，这是一个收敛的无穷级数。

老三得到的牛头数为

我们看到，经过极限计算的结果与邻居的分牛方法完全一致。这说明，利用极限思想能圆满地解决某些日常生活中的数学难题。

重要极限有明显的经济意义，在经济领域有着广泛的应用。

假设本金为A0，年利率为r，期限为t年，按照本息和复利计算公式，得At=A0(1+r)t

如果每年计息n次，则t年后本息和为

这说明，连续复利计算次数越频繁，计息周期越短，计算所得的本息和数额就越大。当n→+∞时，，但不会无限增大。

以本金 =100000元，年利率r=5%，t=10为例，到期本息和约为164872元。这说明，当本金不是非常大时，仅依靠利息难以致富。考虑到通货膨胀因素，通过在银行存款10年后能否保值还不确定。

3.谣言传播问题研究

在传播学中有一个规律:在一定情况下，谣言的传播符合以下函数关系:

其中p(t)是t时刻人群中知道此谣言的人数比例，a与k都是正数。

此函数图象也叫逻辑斯蒂曲线，逻辑斯蒂曲线通常分为5个时期:开始期、加速期、转折期、减速期、饱和期。

这从数学理论上回答了谣言传播问题。例如“非典”时期的抢购板蓝根、白醋、口罩，甲流袭来时的抢购大蒜的“疯潮”，日本发生了核辐射泄漏后，一场全民参与的“抢盐风潮”等，当谣言迅速蔓延时突然而止。由此说明:随着时间的推移，最终所有人都将会知道此谣言。

4.城市垃圾的处理问题

据某市2010年末的统计资料显示，到2010年末，该市已堆积垃圾达100万吨。根据预测，从2010年起该市还将以5万吨的速度产生新的垃圾。如果从2011年起该市每年处理上一年堆积垃圾的20%，那么长此以往，该市的垃圾能否全部处理完成?

设2010年后的每年的垃圾数量分别是a1、a2、a3……，根据题意，得:

以此类推，n(n→∞)年后的垃圾数量:

根据数列求和及极限知识可知:

随着时间的推移，按照这种方法并不能把所有的垃圾处理完，剩余的垃圾将会维持在某一个固定的水平。

四、结束语

经济数学中每一个重要概念(例如极限)都有其实际背景，在高职高专教育中从实际问题出发引出概念的教学方法可以激发学生的求知欲，也能较快提高教学效果。通过上述分析在教学过程中应尽力培养高职高专学生四方面的学习能力:一是利用数学思想、概念、方法理解经济概念及经济原理的能力;二是把实际问题转化为数学模型的能力;三是求解数学模型的能力;四是培养创造性思维的能力。利用某些数学思想，通过实际问题的解决促进高职高专学生进一步学好经济数学，逐步提高解决经济生活中一些实际问题的能力。

［1］侯风波，蔡谋全.经济数学［M］.沈阳:辽宁大学出版社，2006

［2］胡国胜.经济数学基础与应用［M］.北京:科学出版社，2007