求解多尖角区域的声波散射问题的一种方法

彭增军

(西北大学 数学系， 陕西 西安 710127)

0 引言

声波散射问题是一类重要的数学物理问题.R.Kress和D.Colton在文献[1-3]中利用边界积分方程对这类问题做了大量的研究,其中大部分是对于光滑边界情况的研究,但是对于非光滑边界情况的研究却比较少.文献[4,5]分别就一个尖角和四个尖角的情况进行了详细的研究，受其启发，本文利用位势理论将该方法扩展到N个尖角的情形，从而使其更具有一般性和普遍性.

1 N个尖角的公式

显然在角点处υ0(y)是不连续的.因此引入变量替换t=ω(s)，从而

υ0(t)=υ0(s)=(y1(ω(s)),y2(ω(s)))ω′(s)

若ω′(s)=0，即υ0(y)=0.这样双层位势的核函数在尖角处是连续的而且等于零.因此处理尖角区域的声波散射问题的关键就转化为寻找变量替换t=ω(s)，满足以下两个条件：

(1)ω(s)是区间[0,2π]到区间[0,2π]上的单调递增函数；

(2)在角点处ω(t)=t,ω′(s)=0.当尖角区域只有一个尖角时，则不妨取角点处的变量为t=0，这时可以选取如下的变量替换

其中

其中0≤α1≤…≤αi≤…≤αn≤2π，p≥2，t为曲线上点与x轴正方向的夹角，αi(i=1,…,n)为尖角与x轴正方向的夹角.容易验证变量替换t=ω(s)满足以上两个条件.

2 求解尖角区域的声波散射问题

u=0, on ∂D及Sommerfeld散射条件：

假定尖角在x0处.边界∂D{x0}为C2类逐段光滑的，尖角处的夹角γ:0<γ<2π，用单双层位势的混合形式来逼近散射波us

由文献[4]单双层位势的跳跃关系定理得到如下边界积分方程：

=2f

该方程可以简单记为如下形式：

αφ+Kφ-iηSφ=2f

(1)

其中当x=x0时，α(x)=γ0/π，当x≠x0时，α(x)=1，γ0为x0点的内角，f=-eikx·d.

假设∂D可用参数方程表示为x(t)={x1(t),x2(t)}，0≤t≤2π，则(1)式可表示为参数形式：

其中ψ(t)=φ(x(t)),g(t)=2f(t)

(2)

(3)

其中

特别当τ→t时

同时(1)式又可参数化为如下形式：

(4)

其中ψ(t)=φ(x(t)),g(t)=2f(t)

K1(t,τ)=L1(t,τ)+ikM1(t,τ)

K2(t,τ)=L2(t,τ)+ikM2(t,τ)

设t=ω(s)，τ=ω(σ)运用文献[2]中的公式

代入(4)式，则

其中

下面将(4)式离散化.

假设边界区域有N个角点，分别为xci(i=1,…,N)，运用文献[2]中的矩形公式，(4)式最终化为下面形式

(5)

由函数的渐进性可得到(5)式对应的远场模式为

3 数值算例

例1设边界曲线的参数方程表达式为

例2设边界曲线的参数方程表达式为

计算结果如表1和表2所示，其中k=1，p=8，d=(1,0) .例1和例2分别给出了一个尖角和四个尖角的例子，将其计算结果分别和文献[4]与文献[5]中的计算结果进行比较，证明该方法的有效性和可行性.

表1 例1的远场模式数值解

表2 例2的远场模式数值解

[1] Colton D.,Kress R. Integer equation methods in scattering theory[M].New York：Springer, 1983:35-135.

[2] Kress R.Liner integral equation[M].New York：Springer, 1989:49-96.

[3] Colton D.,Kress R. Integer inverse acoustic and electromagnetic scattering theory[M].New York：Springer，1992:45-77.

[4] Kress D.A. Nystrom method for boundary integral equations in domains with corners[J].Numer.Math，1990,58(2): 145-161.

[5] 孟文辉.快速多极边界元方法研究及其在求解声波传播和散射问题中的应用[D].西安：西北工业大学，2010:28-46.