水中结构振动时声学相似性的数值验证

王永富，周其斗，纪 纲，谢志勇

(海军工程大学 船舶与动力学院，武汉 430033)

水中结构振动时声学相似性的数值验证

王永富，周其斗，纪 纲，谢志勇

(海军工程大学 船舶与动力学院，武汉 430033)

以声学相似性原理为基础，用因次理论得到了在相似准数相等条件下的无因次系数，给出了模型和原型声学相似的条件。采用结构有限元耦合流体边界元方法计算水下相似加肋圆柱壳模型的流固耦合振动和声辐射。数值计算表明在相似条件下几何相似模型的壳体振动声学传递函数及其谱峰频率满足相似性，水下的模态、流固耦合振动响应以及声辐射均满足相似关系，并且与理论结果能够符合。

声学相似原理;加肋圆柱壳;壳体通道声学传递函数;谱峰频率;流固耦合

以声学相似性原理为基础，通过研究相似模型的耦合振动以及辐射声场来预测水下复杂结构的振动响应和声辐射规律是一种有效的方法。文献［1－2］从理论上推导了薄壳和复杂圆柱壳振动的相似关系和相似条件。文献［3］介绍了缩比为0.15的声学试验模型，模型可以很好地研究水下结构的振动和声响应。文献［4－5］给出了风机相似性的定律，介绍了依据声学相似原理分析风机相似性的数值计算方法，通过计算结果和试验结果比较，这种方法可以很好的预测风机的噪声。文献［6］采用有限元和边界元方法分析了加肋圆柱壳振动、耦合振动和声辐射并给出了声学相似性条件和相似关系。文献［7］完成了加肋圆柱壳的振动和水下声辐射的相似性试验，验证了模态频率和水下辐射声功率的相似性。文献［8］利用ANSYS对具有相似关系模型的振动响应和声辐射进行分析，验证了相似性原理，提出了预报水下大型复杂结构体振动响应和声辐射的方法。文献［9］介绍了使用FORTRAN和DAMP语言以及有限元软件NASTRAN实现了流固耦合解耦的附加质量阻尼法。

方程分析法和有限元分析法是研究声学相似性的一般方法。本文结合因次理论和相似理论，给出了研究水下结构相似振动新的推导方法，这种方法可以避免处理相似理论问题时采用的复杂公式推导和有限元分析，给出的相似准数和无因次相似系数揭示了声学相似的本质。另外，利用有限元软件 PATRAN、NASTRAN结合边界元方法对水下结构的模态、耦合振动响应、辐射声场的相似性进行了数值验证。

1 相似理论

1.1 相似准则

相似理论主要是解决实现相似现象之间物理状态的相似问题。对于流体中结构振动时产生声辐射的这种物理现象，就是要求两个力学系统在相似条件下产生的辐射声场是相似的。要实现模型和原型两个力学系统的声学相似，满足的条件为：

1.1.1 几何相似

几何相似就是两系统对应的长度均具有同一比例，且对应角相等。本文中模型的几何尺寸、肋骨的尺度以及板厚、端盖厚度等几何尺寸均满足相似性。

1.1.2 运动相似

在几何相似系统中，在对应瞬时，对应点上的速度方向相同，大小成同一比例，则称之为运动相似。本文讨论了在相似现象间模型和原型速度之间的关系。对于在静水中的激振，不考虑速度及其衍生出相似准数的影响。

1.1.3 动力相似

动力相似是指在相似系统中，在对应瞬时，对应点上作用力的分布方向相同，大小具有同一比例。本文是在模型对应点进行稳态激振，激振力采取集中分布的形式，激振方向相同，并且激振力幅值和激振频率满足相似条件。

如果两个系统是相似的，对于任意无因次量在数值上是相等的。可以把从模型中获得的物理量整理成无因次系数的形式，然后换算到原型上，从而得到原型的物理量。

两系统现象相似的充要条件为，边界条件和初始条件相似，满足同一微分方程式。边界条件和初始条件用相似准数来描述，相似准数在数值上相等则保证两系统现象相似。对于本文中加肋圆柱壳在水下的受激振动和声辐射现象，边界条件和初始条件相同，并且都满足结构振动方程(1)和流体波动方程(2)。根据结构振动方程和流体波动方程分析影响某一物理量的所有因素，并用因次分析法获得描述现象相似的相似准数，得到了关于这一物理量的无因次系数。相似准数相等就可以保证无因次系数相等，由此可由模型的物理量推得原型的物理量。

1.2 用因次分析法得到无因次系数

1.2.1 无因次声压系数

对于结构在流体中的受激振动，其控制方程主要包括结构的振动方程(1)和流体波动方程(2)［10］。根据薄壳理论，可以推得无阻尼振动的有限元方程为：

其中：K、M为结构刚度矩阵、质量矩阵，包含了材料弹性模量E、泊松比σ、材料密度ρ*、几何特征尺寸l。U为节点的位移矩阵，j包括流体负载力和等效节点力(包括机械外力)。

从流体的连续方程和欧拉运动方程出发，得到了来流速速V不变时的流体波动方程：

式中：ρ为流体密度，c为流体中声速，V为平均来流速度，p为流场压力，t'为作用流体的体积力，它反映了流体对结构的反作用力，x轴为来流方向，q为外部的体积流量。

由上面两式可知，水下辐射声压的影响因素包括了：流体密度ρ、材料密度ρ*、材料弹性模量E、材料泊松比σ、水下航行体的速度(或者来流速度)V、几何特征尺度(包括板厚、外形尺寸、肋骨尺寸等)l、流体中声速c。j中的机械外力必然包括了激振力的激振频率f和激振力幅值R的影响。在辐射声场中由于在不同位置的声场的辐射声是不同的，所以水深Z以及声场计算距离r也作为考虑的因素。即辐射声压可表达为：

式中：ai、bi、ci、di、ei、fi、gi、hi、ni、ri、si均为无因次常数。作为一个物理等式，上式两端的因次是一致的。选取长度L、时间T、力F作为基本量。

由式(4)得到了如下因次方程式：

由式(12)可知，只要模型和原型的相似准数Rψ，cψ，ρψ，Eψ，Vψ，Zψ，σψ，rψ相等，则二者的无因次声压系数相等，最终得到模型和原型声压之间的关系。

由于本文中的模型是在水中进行静止激振，故不考虑来流速度V。即辐射声压表达为：

其中相似准数 RΨ、cψ、ρψ、Eψ、Zψ、σψ、rψ同式(9)。

由相似准数(9)，得到了模型和原型激振频率、声场测量距离、激振力幅值之间的关系如下：

即模型和原型之间的声压是相等的。

1.2.2 无因次辐射声压谱密度系数

在频率f处的辐射声压谱密度G(f)可以表示为：

进行无因次分析，得到：

其中相似准数 RΨ、cψ、ρψ、Eψ、Zψ、σψ、rψ同式(9)，无因次辐射声压谱密度系数为：

1.2.3 无因次模态频率系数

模型的固有频率只与结构的尺寸和材料属性有关，即材料密度ρ*、材料弹性模量E、材料泊松比σ、以及几何特征尺度l有关。则固有频率表示为：

同上进行无因次分析，得到：

其中相似准数σψ同式(9)，无因次模态频率系数为：

模型的水下模态频率还与流体的密度ρ有关。则水下耦合模态频率表示为：

同上进行无因次分析，得到：

其中相似准数 ρψ、σψ同式(9)，无因次湿模态频率系数为：

1.2.4 无因次耦合振动位移响应系数

由式(1)和式(2)可知，水下耦合位移振动响应的影响因素包括：流体密度ρ、材料密度ρ*、材料弹性模量E、材料泊松比σ、以及几何特征尺度l、激振频率f、激振力幅值R。则水下耦合振动位移响应可以表示为：

其中相似准数 RΨ、cψ、ρψ、Eψ、σψ同式(9)，无因次耦合振动位移响应系数为：

根据式(33)，在满足相似准数 RΨ、cψ、ρψ、Eψ、σψ相等的条件下，则模型和原型湿模态频率系数相等。由式(34)知，Us/ls=Ub/lb，最终得到：

在几何相似的声场测量点，即水深、声场计算点距离满足相似关系，边界条件和材料相同，在相似激振频率和激振力幅值下，模型得到的声压等于原型的声压，并且模态、耦合振动位移响应及辐射声压谱密度同样满足相似性。

2 相似原理数值计算验证

数值计算设计的两个圆柱壳模型采用相同的钢质材料，杨氏模量E=2.06×1011N·m2，泊松比σ=0.3，密度 ρ*=7 850 kg·m－3，材料阻尼 λ=0.06。流体参数为：密度 ρ=1 020 kg· m－3，水中声速 c=1 450 m·s－1。

模型几何缩尺比取为m=0.5，根据式(17)，得到Dr=0.5，Dz=0.5。圆柱壳放置的水深取Zb=3.0 m，Zs=1.5 m。声场计算点距离取rb=8.0 m，rs=4.0 m(如图1)。激振力均作用在最中间的肋骨上，并且激振方向沿径向向外(如图2)。两个圆柱壳的几何参数如表1。

表1 模型尺寸Tab.1 Modle size

2.1 模态相似性

利用有限元软件PATRAN建立了相似的有限元模型，两个模型均划分了2 742个网格1 562个节点，以确保计算精度是相同的(如图 3)。利用 NASTRAN103求解器进行模态计算，对于水中的模态采用虚拟质量法进行计算。如图4，比较了模型的固有频率及水下湿模态频率，同阶模态下小模型模态频率均为大模型的2倍，这验证了式(27)和式(31)。干模态和湿模态前6阶均为刚体模态并且模态频率接近 0 Hz，7阶到20阶模态为受压模态，并且在同阶模态下湿模态频率均小于其固有频率。模态振型满足相似性，以13阶模态为例，大小模型的固有模态振型如图5和6，固有频率分别为186.87 Hz、373.74 Hz。水中湿模态振型如图7和8，湿模态频率分别是95.97 Hz、191.93 Hz。湿模态振型和干模态振型明显不同，这是因为结构在流体中振动时会受到流场的反作用，耦合振动后的结构响应发生了变化。

图3 有限元网格Fig.3 Finite element mesh

2.2 耦合振动的相似性

用NASTRAN108求解器计算模型在稳态激振力下在真空中和水中的位移振动响应，并且激振频率相似比满足式(16)，即小模型的激振频率是大模型的两倍。激振力幅值取 Rb=98 N、Rs=24.5 N(满足 DR=0.25)。以大模型在240 Hz激振频率、小模型在480 Hz激振频率时为例，如图9、10所示，大小模型在真空中的位移振动响应是相似的，图11、12分别是大小模型在水中的位移振动响应，对比可以发现由于流体介质的影响，耦合振动后的位移振动响应发生了变化，但是并不影响其相似性。大模型的最大、最小耦合振动位移响应为2.41×10－3mm、2.97×10－5mm，小模型的最大、最小耦合振动位移响应为1.21×10－3mm、1.48×10－5mm，大小模型的最大和最小耦合振动位移响应基本上满足式(35)。

图9 真空中大模型240 Hz激振频率下位移振动响应Fig.9 Vibrational response of displacement at excitation frequency of 240Hz of big modle in vacuum

图10 真空中小模型480 Hz激振频率下位移振动响应Fig.10 Vibrational response of displacement at excitation frequency of 480 Hz of small modle in vacuum

图11 水中大模型240 Hz激振频率下位移振动响应Fig.11 Vibrational response of displacement at excitation frequency of 240 Hz of big modle underwater

图12 水中小模型480Hz激振频率下位移振动响应Fig.12 Vibrational response of displacement at excitation frequency of 480 Hz of small modle underwater

2.3 声学传递函数的相似性

使用有限元耦合流体边界元方法计算水下结构的声辐射［11］，用有限元软件PATRAN/NASTRAN对结构作有限元分析，采用FORTRAN语言进行边界元处理，利用DAMP语言完成了边界元与有限元软件 NASTRAN的对接，实现了流固耦合的计算。计算时考虑了水面反射的影响，大、小模型放置的水深为3 m、1.5 m，Rb=98 N、Rs=24.5 N。以1 Hz为间隔计算了大模型激振频率在20～250 Hz、小模型在40～500 Hz时相似距离下的声辐射。如图2，计算了一周72个点的辐射声压，对比了大小模型在A点的辐射声压。

图13 大模型激振力传递函数Fig.13 Excitation force transfer function of big modle

图14 小模型激振力传递函数Fig.14 Excitation force transfer function of small modle

图15 大模型声功率谱密度Fig.15 Radiation sound pressure spectral density of big modle

图16 小模型声功率谱密度Fig.16 Radiation sound pressure spectral density of small modle

2.4 指向性的相似性

根据文献［8］可知，模型和原型声压的指向性是相同的，在激振频率和激振力幅值相似，并且满足模型几何、水深、声场计算点距离相似，边界条件和材料相同时，计算耦合振动产生的远场辐射声压。图17和图18分别是大模型在120 Hz激振频率下、小模型在240 Hz时辐射声场的对比，结果可知小模型的辐射声场能够很好的和大模型相似。大、小模型在A点的辐射声压级为117.046 4 dB、117.046 6 dB，其它相似声场计算点的误差均很小，很好的验证了式(19)。

3 结论

本文通过结构有限元耦合流体边界元方法，用因次理论得到了在相似准数相等条件下的无因次系数，利用有限元软件PATRAN/NASTRAN对两个几何相似模型进行了相似性分析包括：模态、流固耦合的振动响应、辐射声场。并且对壳体通道的声学传递函数及其谱峰频率进行了研究。结果表明：几何相似的模型在边界条件和材料相同，激振频率和激振力幅值相似的条件下，模态频率及振型、流固耦合的位移振动响应、辐射声场是相似的，声学传递函数及其谱峰频率、辐射声压谱密度同样满足相似性。也就是说可以通过小模型来预测大模型在水下的振动响应和声辐射。

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Numerial investigation on acoustic similarity of fluid-loaded stiffened cylinder

WANG Yong－fu，ZHOU Qi－dou，JI Gang，XIE Zhi－yong
(College of Ships and Dynamic，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

Based on acoustic similarity principle，dimensionless coefficients were obtained under the supposition of equal similarity numbers by using dimensional theory，and the similarity conditions between model and prototype were provided.The FEM for structure coupled with BEM for fluid were used in the computation of fluid－structure coupled vibration and acoustic radiation of an underwater stiffened cylinder.Under similar conditons，numerical calculation shows that for geometrically similar models，the acoustic transfer function and it’s spectral peak frequency both meet the similarity conditions，the underwater mode，response of fluid－structure coupled vibration and acoustic radiation all satisfy the similarity relations，and the results accord well with the theoretical results.

acoustic similarity principle;stiffened cylinder;shell channel’s acoustic transfer function;spectral peak frequency;fluid－structure coupling

U661.4

A

2011－06－01 修改稿收到日期：2011－09－09

王永富 男，硕士生，1985年生